Ich verstehe die Varianz des Binomials nicht

Ich fühle mich wirklich dumm, wenn ich nur eine so grundlegende Frage stelle, aber hier ist:

Wenn ich eine Zufallsvariable $X$ , die die Werte $0$ und annehmen kann $1$ , mit $P(X=1) = p$ und $P(X=0) = 1-p$ , dann werde ich $n$ Proben daraus ziehen eine Binomialverteilung.

Der Mittelwert der Verteilung ist

$\mu = np = E(X)$

Die Varianz der Verteilung beträgt

$\sigma^2 = np(1-p)$

Hier beginnt mein Ärger:

Die Varianz ist definiert durch $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ . Da das Quadrat der beiden möglichen $X$ Ergebnisse ändern sich nicht alles ( $0^2 = 0$ und $1^2 = 1$ ), das heißt , $E(X^2) = E(X)$ , so dass Mittel

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Wohin geht das extra $n$ ? Wie Sie wahrscheinlich feststellen können, bin ich in Statistiken nicht sehr gut, verwenden Sie also bitte keine komplizierten Begriffe: s

variance binomial

— Dain
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Wenn

und diese unabhängig sind, dann ist

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

. Eine noch einfachere Route ist jedoch

so dass

also mit Unabhängigkeit

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

Antworten:

Eine Zufallsvariable mit den Werten und und den Wahrscheinlichkeiten und wird als Bernoulli-Zufallsvariable mit dem Parameter . Diese Zufallsvariable hat $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$ AngenommenSie haben eine Stichprobedie Größevonund definiere eine neue Zufallsvariable

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

, dann heißt die Verteilung von

Binomial, dessen Parameter

und

. Der Mittelwert und die Varianz der binomialen Zufallsvariablen Y sind durch

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— L.V.Rao
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How does this answer the question, which was "Where does the extra n go?"?

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba Thank you very much for your comment. As OP could not distinguish between Bernoulli and Binomial random variables, I thought of reminding him the necessary definitions and the process of obtaining the required expressions.

— L.V.Rao

I am just saying that your answer would (in my opinion) improve if you explicitly point out the mistake in OP's reasoning. Your answer derives the correct formulas, but does not show where OP went wrong.

— amoeba says Reinstate Monica

@amoeba True. Giving some direction, making them correct themselves also helps sometimes.

— L.V.Rao

Two mistakes in your proving process:

1: $X$ in first paragraph has different definition comparing with $X$ in the rest of article.

2: Under the condition that $X$ ~ $Bin(p, n)$ , $E(X^2) \ne E(X)$ . Try to work from $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
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If you like making your eyes bleed, I transcribed a lot of my notes from grad school. This particular link shows the derivation of E(X) and E(X^2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Benjamin