Gibt es so etwas wie einen fairen Würfel?

Gibt es so etwas wie einen fairen Würfel? Bei Würfeln, bei denen die Zahl durch einen herausgeschöpften Punkt dargestellt wird, macht das sicherlich einen Unterschied? Hat jemand recherchiert?

Wenn man darüber nachdenkt, warum sollte ein Münzwurf fair sein? Die Physik auf jeder Seite ist völlig anders.

dice

— mfc
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In Bezug auf faire Würfel haben Casinos ein großes finanzielles Interesse daran, dass Würfel sehr, sehr fair sind. Die Randomisierung ist zum großen Teil darauf zurückzuführen, dass Sie vom Boden und den Wänden des Bereichs, in den Sie sie werfen, abprallen, und ich vermute, dass die Punkte dabei eine unbedeutende Rolle spielen.

— Jbowman

Für die Münze siehe Andrew Gelman & Deborah Nolans Artikel in The American Statistician : Sie können einen Würfel laden, aber Sie können keine Münze vorspannen .

— Onestop

Verwandte: skeptics.stackexchange.com/questions/5982/is-a-coin-toss-fair

— nico

Antworten:

Ich denke, das Konzept von "fair" ist schwer zu definieren. Da ein gegebener Würfelwurf ein deterministisches Ergebnis liefert (mit anderen Worten, die Physik bestimmt, was das Ergebnis ist), können wir nicht wirklich sagen, dass es eine gewisse "Wahrscheinlichkeit" gibt, einen Eins zu würfeln. Dies bezieht sich auf den Irrtum der Gedankenprojektion, was im Wesentlichen besagt, dass Wahrscheinlichkeit eine Eigenschaft des eigenen Informationszustands eines Phänomens ist, keine Eigenschaft des Phänomens selbst. In Bezug auf den Würfelwurf basiert das Ergebnis nicht nur auf dem Würfel, sondern auch auf der Methode, mit der er gewürfelt wird. Wenn wir genug über eine bestimmte Rolle 'wissen' (die Materialzusammensetzung der Matrize, ihre anfängliche Ausrichtung, die auf sie ausgeübten Kräfte, die Umgebung, in der sie landet usw.), können wir (theoretisch) die gesamte Bewegung modellieren, die darin auftritt Wirf mit willkürlicher Genauigkeit und anstatt eine 1/6 "Wahrscheinlichkeit" der Landung auf einer bestimmten Seite zu finden, werden wir nahezu sicher sein, dass sie auf einer Seite landen wird.

Das alles ist natürlich sehr unrealistisch, aber mein Punkt ist, dass die Methode des Rollens genauso wichtig ist wie das physische Make-up des Würfels. Ich denke, eine gute Definition eines „fairen“ Würfels wäre eine, bei der es unter vernünftigen Bedingungen (Rechenleistung, Zeit, Genauigkeit der Messungen) nicht möglich ist, das Ergebnis eines Wurfs mit einem gewissen Maß an Vertrauen vorherzusagen. Die Besonderheiten dieser Einschränkungen hängen von den Gründen ab, aus denen Sie prüfen, ob der Würfel fair ist oder nicht.

Nebenbei: Angenommen, ich sage Ihnen, ich habe eine „unfaire Münze“ und ich werde Ihnen eine Million Dollar geben, wenn Sie richtig erraten können, auf welcher Seite sie landen wird. Wählst du Kopf oder Zahl?

— Daniel Johnson
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Der erste Absatz dieser Antwort zeigt eine fast prototypische Laplace-Sicht der Zufälligkeit.

— Kardinal

Dies erinnert mich an den Eudaemonic Pie , bei dem einige Schüler versuchten, Roulette anhand eines

— Schuhcomputers

@ Cardinal Ich bin sehr anderer Meinung. Dies ist im Grunde die genaue Ansicht, die ET Jaynes in seinem Buch von 2003 vertreten hat. Dies ist eine entschieden un-laplaceische Ansicht zugunsten einer viel objektiveren Bayesianischen Ansicht.

— Ely

@EMS: PS Laplace (1814), Essai philosophique sur les probabilités , Courcier, S. 2-3 : Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers, comme l'effet de son état antérieur und comme la caus de celui qui va suivre. Une Intelligenz qui pour un sofort donné, connaîtrait toutes les Kräfte dont la Natur est animeé, et la Situation jeweils des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule , les mouvemens des plus grands corps de l'univers et ceux du plus leger atome: ...

— Kardinal

rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé, serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre dans la Perfektion qu'il a su donner à l'astronomie, une faible esquisse de cette Intelligenz. Ses découvertes en mécanique et en géométrie, Jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes Ausdrücke analytiques, les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, ...

— Kardinal

Ein kleines Googeln enthüllt einen Wikipedia-Artikel (Keuchen!) Über Würfel . Es enthält Anmerkungen zur Präzision von Würfeln, in denen das Problem des Herausschaufelns der Punkte erwähnt wird (sie werden mit Material gleicher Dichte nachgefüllt). Werden diese genau fair sein? Wie werden Sie das definieren? Wie nahe an 1/6 muss jedes Ergebnis sein, um sich zu qualifizieren?

— Peter Flom - Monica wieder einsetzen
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Kein Würfel ist fair, aber zu testen, ob ein Würfel voreingenommen ist, hängt von der Anzahl der Würfe (dh der Zeit) ab. Wenn Sie während einer realistischen Lebensdauer eines Würfels und beispielsweise einer Million Würfe nicht genug Kraft haben, um Unterschiede von 1/6 sowie die Unabhängigkeit der Ergebnisse zu erkennen, ist dies aus allen praktischen Gründen ein fairer Würfel. Dies ist die gleiche Frage, wie viele Replikationen man in Monte Carlo verwenden sollte, um eine kleine Stichprobenverzerrung eines asymptotischen Schätzers zu erkennen: Sie wissen, dass es eine Verzerrung gibt, aber Sie können sie bei 1000 oder 10000 Monte Carlo-Stichproben möglicherweise nicht finden Sie schließen daraus, dass es in Ordnung ist.

— StasK

χ^{2}

$\chi^2$

H_{0} : p_{1} = \dots p_{6} = 1 / 6

$H_0: p_1 = \ldots p_6 = 1/6$ . Welches Signifikanzniveau diesem Test beigemessen werden sollte, kann diskutiert werden. Wie groß ist der "Abstand" zur Messe?

z_{1 - α / 2} \sqrt{1 / 6 \cdot 5 / 6 \cdot 1 / n}

$z_{1-\alpha/2}\sqrt{1/6\cdot5/6\cdot1/n}$ wo

n

$n$ ist die Häufigkeit, mit der Sie den Würfel gewürfelt haben.

— StasK

Ich verstehe den Punkt tatsächlich nicht. Pearson

χ^{2}

$\chi^2$ ist kein Test der Unabhängigkeit, und es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten, ihn zu brechen. Im Pearson-Testparadigma spiegelt die Wahl der kritischen Ebene wider, wie viel Vertrauen Sie in die Null setzen (oder wie stark die Beweise für die Alternative sein sollten, die Null abzulehnen). Ich bin jedoch nicht geneigt, in philosophische Diskussionen einzusteigen. Im Bayes'schen Paradigma müsste man einen seltsamen unregelmäßigen Prior mit Punktmasse am fairen Punkt und einer absolut kontinuierlichen Verteilung an anderer Stelle konstruieren, und ich weiß einfach nicht, wie gut es funktioniert.

— StasK

Ich bin mir nicht sicher, warum Sie die Unabhängigkeit ansprechen. Keine meiner Kritikpunkte befasst sich damit. Ich sage, dass Sie mit arbeiten

P (D a t a | H_{0})

$P(Data | H_{0})$ when what matters epistemically is

P (H_{0} | D a t a)

$P(H_{0} | Data)$ . In the Pearson setting, you also have to assume a weird non-regular prior, and in fact it would be more buried in assumptions and less accessible than setting it up in a Bayesian paradigm, since you're implicitly embedding all of that into the term

P (D a t a | H_{0})

$P(Data | H_{0})$ by virtue of what that is equal to under Bayes' theorem.

— ely

I disagree @PeterFlom, look at Danial Johnson's answer above. It's about your own mind's state of ignorance about the die, not about anything empirical regarding the die. This is why

P (F a i r | D a t a)

$P(Fair | Data)$ and your prior beliefs about the die do matter, but the more frequentist approach of basing it on test statistics with

P (D a t a | F a i r)

$P(Data | Fair)$ doesn't matter. It's absolutely not about mere tolerances, because one can always concoct a totally unfair die that satisfies any computable test statistic to within whatever accuracy you want. You really must use the idea of priors and states of knowledge.

— ely