Das harmonische Mittel minimiert die Summe der quadratischen relativen Fehler

Ich suche eine Referenz, bei der nachgewiesen ist, dass die Harmonischen bedeuten

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

minimiert (in ) die Summe der quadratischen relativen Fehler $z$

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
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Antworten:

Warum brauchen Sie eine Referenz? Dies ist ein einfaches Kalkülproblem: Damit das von Ihnen formulierte Problem Sinn ergibt, müssen wir annehmen, dass alle . Definiere dann die Funktion Berechne dann die Ableitung in Bezug auf : dann die Lösung der Gleichung ergibt die Lösung. Jetzt müssen wir natürlich überprüfen, ob dies tatsächlich ein Minimum ist, um die zweite Ableitung zu berechnen: für die letzte Ungleichung, die wir schließlich verwendet haben, dass alle $x_i > 0$

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$ . Ohne diese Annahme könnten wir tatsächlich das Risiko eingehen, ein Maximum gefunden zu haben!

Als Referenz vielleicht https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean oder https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean oder Referenzen darin.

— kjetil b halvorsen
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Danke für deine Antwort. Ein Verweis würde mir Platz sparen. Ich möchte das Ergebnis als Lemma in einem anderen Beweis zitieren, ohne einen in sich geschlossenen Beweis des Lemmas einschließen zu müssen.

— Martin Van der Linden

Es ist schwierig, einen expliziten Verweis zu finden. Können Sie nicht einfach sagen, dass der Beweis eine grundlegende Kalkülübung ist?

— kjetil b halvorsen

So grundlegend es auch ist, ich bevorzuge es immer, eine Referenz anzugeben. Ich verstehe jedoch, dass es schwierig ist, grundlegende Ergebnisse zu finden, und dass der Beweis eindeutig dem Leser überlassen werden kann.

— Martin Van der Linden

Temporäres Ping außerhalb des Themas: Erwägen Sie, für das Synonym spearman-> spearman-rho zu stimmen . Stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonyms . Danke

— Amöbe sagt Reinstate Monica

$1/x_i$

$\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

$x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

Bemerkungen

Die gleiche Analyse gilt für alle positiven Mengen von Gewichten, die eine Verallgemeinerung des harmonischen Mittels und eine nützliche Methode zu seiner Charakterisierung liefern.
$x_i$
$x_i$ $W$

Referenz

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck und G. Geoffrey Vining, Einführung in die lineare Regressionsanalyse. Fünfte Ausgabe. J. Wiley, 2012. Abschnitt 5.5.2.

— whuber
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