Zustandsraumdarstellung von ARMA (p, q) aus Hamilton

$r = \max(p,q+1)$

$$\begin{aligned} y_t -\mu &= \phi_1(y_{t-1} -\mu) + \phi_2(y_{t-2} -\mu) + ... + \phi_3(y_{t-3} -\mu) \\ &+ \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + ... + \theta_{r-1}\epsilon_{t-r+1}. \end{aligned}$$

$$\xi_{t+1} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \dots & \phi_{r-1} & \phi_r \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots &1 &0 \end{bmatrix} \xi_t + \begin{bmatrix} \epsilon_{t+1} \\ 0\\\vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

und die Beobachtungsgleichung als:

$$y_t = \mu + \begin{bmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{r-1} \\ \end{bmatrix} \xi_t.$$

Ich verstehe nicht, was das in diesem Fall ist. Denn in seiner AR (p) -Darstellung ist es und in seiner MA (1) -Darstellung ist es .[ y t - μ y t - 1 - μ ⋮ y t - p + 1 - μ ] [ ϵ t ϵ t - 1$\xi_t$$\begin{bmatrix} y_{t} - \mu \\ y_{t-1} - \mu\\\vdots \\ y_{t-p+1} - \mu \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} \epsilon_{t} \\ \epsilon_{t-1} \end{bmatrix}$

Könnte mir das jemand etwas besser erklären?

Hamilton zeigt, dass dies eine korrekte Darstellung im Buch ist, aber der Ansatz mag etwas eingängig erscheinen. Lassen Sie mich daher zunächst eine allgemeine Antwort geben, die seine Modellierungsentscheidung motiviert, und dann seine Ableitung etwas näher erläutern.

Motivation :

Wie aus dem Lesen von Kapitel 13 hervorgeht, gibt es viele Möglichkeiten, ein dynamisches Modell in Form eines Zustandsraums zu schreiben. Wir sollten uns daher fragen, warum Hamilton diese besondere Darstellung gewählt hat. Der Grund ist, dass diese Darstellung die Dimensionalität des Zustandsvektors niedrig hält. Intuitiv würden Sie denken (oder zumindest würde ich), dass der Zustandsvektor für eine ARMA ( , ) mindestens die Dimension . Schließlich können wir nur aus der Beobachtung von den Wert von ableiten . Er zeigt jedoch, dass wir die Zustandsraumdarstellung auf eine clevere Weise definieren können, die den Zustandsvektor der Dimension von höchstens verlässtq p + q y t - 1 ϵ t - 1 r = max { p , q + 1 } p $p$$q$$p+q$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$r = \max\{p, q + 1 \}$. Es kann für die rechnerische Implementierung wichtig sein, die Zustandsdimensionalität niedrig zu halten. Es stellt sich heraus, dass seine Zustandsraumdarstellung auch eine schöne Interpretation eines ARMA-Prozesses bietet: Der unbeobachtete Zustand ist ein AR ( ), während der MA ( ) -Teil aufgrund eines Messfehlers entsteht.$p$$q$

Ableitung :

Nun zur Ableitung. Beachten Sie zunächst, dass unter Verwendung der Lag-Operator-Notation der ARMA (p, q) definiert ist als: wobei wir für und für und weglassen, da mindestens . Wir müssen also nur zeigen, dass seine Zustands- und Beobachtungsgleichungen die obige Gleichung implizieren. Lassen Sie den Zustandsvektor sein nun auf der Suche Zustandsgleichung. Sie können die Gleichungen bis überprüfenϕ j = 0 j > p θ j = 0 j > q & thgr ; r r q +

$$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) =(1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_t$$ $\phi_j = 0$$j>p$$\theta_j = 0$$j>q$$\theta_r$$r$$q+1$ 2 $$\mathbf{\xi}_t = \{\xi_{1,t}, \xi_{2,t},\ldots,\xi_{r,t}\}^\top$$ $2$$r$Bewegen Sie einfach die Einträge zu eine Periode vor und Verwerfen in dem Zustandsvektor bei . Die erste Gleichung, die ist daher die relevante. Schreiben Sie es auf: Da das zweite Element von das erste Element von und das dritte Element von ist das erste Element von ξ i - 1 , t + 1 ξ r , t t + 1 ξ i , t + 1 ξ 1 , t + 1 = ϕ 1 ξ 1 , t + ϕ 2 ξ 2 , t + … + ϕ r ξ r , t + ϵ t + 1 ξ $\xi_{i,t}$$\xi_{i-1,t+1}$$\xi_{r,t}$$t+1$$\xi_{i,t+1}$ $$\xi_{1,t+1} = \phi_1 \xi_{1,t} + \phi_2 \xi_{2,t} + \ldots + \phi_r \xi_{r,t} + \epsilon_{t+1}$$ $\mathbf{\xi_{t}}$ ξ t ξ t - $\mathbf{\xi_{t-1}}$$\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-2}}$und so weiter können wir dies umschreiben, indem wir die Notation des Verzögerungsoperators verwenden und das Verzögerungspolynom nach links verschieben (Gleichung 13.1.24 in H.): Der verborgene Zustand folgt also einem autoregressiven Prozess. In ähnlicher Weise lautet die Beobachtungsgleichung oder Dies sieht bisher nicht sehr nach einem ARMA aus, aber jetzt kommt das schöner Teil: Multipliziere die letzte Gleichung mit : y t = μ + ξ 1 , t + θ 1 ξ 2 , t + … + θ r - 1 ξ r - 1 , t y t - μ = ( $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t+1} = \epsilon_{t+1}$$ $$y_t = \mu + \xi_{1,t} + \theta_1\xi_{2,t} + \ldots + \theta_{r-1}\xi_{r-1,t}$$ $$y_t - \mu = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\xi_{1,t}$$ $(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)y_t$$ Aber aus der Zustandsgleichung (um eine Periode verzögert) haben wir ! Das Obige ist also äquivalent zu das ist genau das, was wir zeigen mussten! Das Zustandsbeobachtungssystem repräsentiert also die ARMA korrekt (p, q). Ich habe Hamilton wirklich nur paraphrasiert, aber ich hoffe, dass dies trotzdem nützlich ist.$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t} = \epsilon_{t}$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_{t}$$

Dies ist das gleiche wie oben, aber ich dachte, ich würde eine kürzere, präzisere Antwort geben. Dies ist wiederum Hamiltons Darstellung für einen kausalen ARMA ( , ) -Prozess, wobei . Diese Zahl ist die Dimension des Zustandsvektors und wird benötigt, um die Anzahl der Zeilen der zu Der Status stimmt mit der Anzahl der Spalten der Beobachtungsmatrix überein. Das heißt, wir müssen auch die Koeffizienten auf Null setzen, wenn der Index zu groß ist.$p$$q$$r=\max(p,q+1)$$r$$(\xi_t, \xi_{t-1},\ldots, \xi_{t-r+1})'$

1. Beobachtungsgleichung

$$\begin{align*} &\phi(B)(y_t - \mu) = \theta(B)\epsilon_t \\ \iff &(y_t - \mu) = \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \tag{causality}\\ \iff &y_t = \mu + \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\xi_t \tag{letting $\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t$}\\ \iff &y_t = \mu + \left[\begin{array}{ccccc}1 & \theta_1 & \theta_2 & \ldots & \theta_{r-1} \end{array}\right] \underbrace{\left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right]}_{\text{the state vector}} + 0\tag{this is where we need $r$}. \end{align*}$$

2. Zustandsgleichung

$$\begin{align*} &\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &\phi(B)\xi_t = \epsilon_t \\ \iff &(1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_rB^r) \xi_t = \epsilon_t \\ \iff &\xi_t = \phi_1 \xi_{t-1} + \cdots + \phi_r \xi_{t-r} + \epsilon_t \\ \iff & \left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccccc} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \cdots & \phi_r \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &\cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r} \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} \epsilon_t \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]. \end{align*}$$