Beziehen von auf für Positiv, Erhöhend und Konkav

Die Ankunft von Photonen an einem Pixel in einem Bildsensor ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable, so dass die Eingabe als Poisson rv modelliert werden kann $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda)$ .

Da die Eingabe Poisson ist, sind der Mittelwert und die Varianz gleich, so dass

\frac{E [X]}{V a r [X]} = 1

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[X]}{\mathrm{Var}[X]}=1 \end{equation}$

Nun , wenn der Photonen - Eingang über einen linearen Bildsensor (Kamera) geleitet wird , eine digitale Ausgabe zu erzeugen, können wir dies als eine lineare Transformation der Behandlung , so dass der Ausgang ist . $X$ $Y$ $Y=X/g$

Im Fall dieses linearen Sensors kann ich die "Umwandlungsverstärkung" extrahieren, dh die Anzahl der Photonen, die erforderlich sind, um eine digitale Ausgabe von eins zu erzeugen, dargestellt als in Einheiten von (Photonen / digitales #), als $g$

\frac{E [Y]}{V a r [Y]} = \frac{E [X / g]}{V a r [X / g]} = \frac{\frac{1}{g} E [X]}{\frac{1}{g^{2}} V a r [X]} = g

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}=\frac{\mathbb{E}[X/g]}{\mathrm{Var}[X/g]}=\frac{\frac{1}{g}\mathbb{E}[X]}{\frac{1}{g^2}\mathrm{Var}[X]}=g \end{equation}$

Betrachten Sie nun jedoch einen Sensor, bei dem die Umwandlungsverstärkung linear vom Eingang abhängt, z. B. $Y=X/(aX+b)$ wobei $a>0$ und $b>0$ . Dies bedeutet, dass die Verstärkung eine zunehmende Funktion des Signals $g(x)=ax+b$ .

Bei diesem nichtlinearen Sensor kann die Verstärkung nicht mehr aus dem Verhältnis von Mittelwert zu Varianz am Ausgang ermittelt werden

\frac{E [Y]}{V a r [Y]} \neq g (x)

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}\neq g(x) \end{equation}$

Tatsächlich ist die gemessene Wandlungsverstärkung für jeden Eingangssignalpegel größer als die tatsächliche Wandlungsverstärkung.

\frac{E [Y]}{V a r [Y]} > g (x)

$\begin{equation} \frac{\mathbb{E}[Y]}{\mathrm{Var}[Y]}> g(x) \end{equation}$

Ein Teil der Erklärung dafür ist Jensens Ungleichung, die besagt, dass für eine zunehmende konkave Transformation einer zufälligen Eingabe , dh : $X$ $Y=f(X)$

E [Y] = E [f (X)] \leq f (E [X])

$\begin{equation} \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[f(X)]\leq f(\mathbb{E}[X]) \end{equation}$

In meinem Fall ist tatsächlich eine zunehmende konkave Funktion, was bedeutet, dass der gemessene Mittelwert am Ausgang kleiner ist als der transformierte Mittelwert des Eingangs. Da wir wissen, dass die gemessene Verstärkung am Ausgang überschätzt und der gemessene Mittelwert unterschätzt wird, bedeutet dies, dass die gemessene Varianz noch stärker unterschätzt wird als der Mittelwert . $Y=X/(aX+b)$

Wie kann ich das beweisen oder mathematisch schreiben? Gibt es eine Verallgemeinerung von Jensens Ungleichung für die Varianz? Kann ich genau zeigen, warum der Gewinn in diesem Beispiel überschätzt wird?

— Aaron Hendrickson
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Wenn eine Funktion von , hat es sich gerade dramatisch von einer Konstanten zu einer Zufallsvariablen geändert, dh zu einer nicht konstanten Funktion. Wie könnte es dann gleich dem Verhältnis zweier konstanter Größen (Mittelwert / Varianz) bleiben? Ich sehe keinen Raum für ein "tieferes" Verständnis.

g

$g$

X

$X$

— Alecos Papadopoulos

Es gibt keine Beziehung zwischen den beiden Größen und für konkaves . Hier sind die Beispiele, um dies zu demonstrieren: $f(\text{Var}[X])$ $\text{Var}[f(X)]$ $f$

Beispiel 1: Angenommen, die Zufallsvariable hat die pmf: und und . Wir erhalten und . Also . $X$ $p_X(0) = \frac{1}{2}$ $p_X(4) = \frac{1}{2}$ $f(x) = \sqrt{x}$ $\text{Var}[f(X)] = 1$ $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2$ $\text{Var}[f(X)] < f(\text{Var}[X])$
Beispiel 2: Es seien Zufallsvariable ist die gleiche wie zuvor , dh den PMF hat: und , aber geändert . Beachten Sie, dass noch ist, aber jetzt . Also . $X$ $p_X(0) = \frac{1}{2}$ $p_X(4) = \frac{1}{2}$ $f$ $f(x) = \sqrt{x} - 100$ $\text{Var}[f(X)] = 1$ $f(\text{Var}[X]) = f(4) = 2-100=-98$ $\text{Var}[f(X)] > f(\text{Var}[X])$

— Amit
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Das ist ein guter Punkt. In meinem Beispiel war ich nicht so spezifisch, wie ich hätte sein sollen. Ich interessiere mich für zunehmende positive, konkave Funktionen. Besteht unter dieser Funktionsklasse eine Beziehung?

— Aaron Hendrickson

Beispiel 3: Angenommen, hat eine pmf: , aber ist . ist gleich , aber . Daher . Überprüfen Sie, ob in den Beispielen 1 und 3 positiv und konkav wird.

X

$X$

p_{X} (0) = p_{X} (4) = \frac{1}{2}

$p_X(0) =p_X(4) = \frac{1}{2}$

f (x)

$f(x)$

f (x) = 100 \sqrt{x}

$f(x) = 100\sqrt{x}$

Var [f (X)]

$\text{Var}[f(X)]$

10000

$10000$

f (Var [X]) = 200

$f(\text{Var}[X]) = 200$

Var [f (X)] > f (Var [X])

$\text{Var}[f(X)] > f(\text{Var}[X])$

f

$f$

— Amit