Wie sind die Verteilungen im positiven k-dimensionalen Quadranten mit parametrisierbarer Kovarianzmatrix?

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Nach der Frage von zzk zu seinem Problem mit negativen Simulationen frage ich mich, welche Verteilungsfamilien für den positiven k-dimensionalen Quadranten parametrisiert sind, für den die Kovarianzmatrix kann. $\mathbb{R}_+^k$ $\Sigma$

Wie mit zzk besprochen, funktioniert das Anwenden der linearen Transformation ab einer Verteilung auf nicht. $\mathbb{R}_+^k$ $X \longrightarrow\Sigma^{1/2} (X-\mu) + \mu$

distributions multivariate-analysis covariance

— Xi'an
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Angenommen, wir haben eine multivariate Normalzufallsvektor Mit und vollem Rang symmetrischepositiv definite Matrix .

(\log X_{1}, \dots, \log X_{k}) \sim N (μ, Σ),

$(\log X_1,\dots,\log X_k) \sim N(\mu,\Sigma) \, ,$

μ \in R^{k}

$\mu\in\mathbb{R}^k$

k \times k

$k\times k$

Σ = (σ_{i j})

$\Sigma=(\sigma_{ij})$

Für die lognormal , ist es nicht schwer , zu beweisen , dass $(X_1,\dots,X_k)$

m_{i} := E [X_{i}] = e^{μ_{i} + σ_{i i} / 2}, i = 1, \dots, k,

$m_i := \textrm{E}[X_i] = e^{\mu_i + \sigma_{ii}/2} \, , \quad i=1,\dots,k\, ,$

c_{i j} := Cov [X_{i}, X_{j}] = m_{i} m_{j} (e^{σ_{i j}} - 1), i, j = 1, \dots, k,

$c_{ij} := \textrm{Cov}[X_i,X_j] = m_i \,m_j \,(e^{\sigma_{ij}} - 1) \, , \quad i,j=1,\dots,k\, ,$

und daraus folgt, dass . $c_{ij}>-m_im_j$

Daher können wir die umgekehrte Frage stellen: Wenn und symmetrische positive definite Matrix sind, wird erfüllt , wenn wir $m=(m_1,\dots,m_k)\in\mathbb{R}^k_+$ $k\times k$ $C=(c_{ij})$ $c_{ij}>-m_im_j$

μ_{i} = \log m_{i} - \frac{1}{2} \log (\frac{c_{i i}}{m_{i}^{2}} + 1), i = 1, \dots, k,

$\mu_i = \log m_i - \frac{1}{2} \log\left(\frac{c_{ii}}{m_i^2} + 1 \right) \, , \quad i=1,\dots,k \, ,$

Werden wir einen lognormal Vektor mit den vorgeschriebenen Mittel und Kovarianzen haben.

σ_{i j} = \log (\frac{c_{i j}}{m_{i} m_{j}} + 1), i, j = 1, \dots, k,

$\sigma_{ij} = \log\left(\frac{c_{ij}}{m_i m_j} + 1 \right) \, , \quad i,j=1,\dots,k \, ,$

Die Beschränkung von und ist äquivalent zu der natürlichen Bedingung . $C$ $m$ $\textrm{E}[X_i X_j]>0$

— Zen
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Großartig, Paulo! Sie haben sowohl eine funktionierende Lösung als auch die richtige Bedingung für die Kovarianzmatrix, die auch diese Frage beantwortet . Log-Normalen erweisen sich am Ende als handlicher als Gammas.

— Xi'an

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Eigentlich habe ich definitiv eine Lösung für Fußgänger.

Beginnen Sie mit und wählen Sie die beiden Parameter aus, um sie an die Werte von , . $X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{11},\beta_{1})$ $\mathbb{E}[X_1]$ $\text{var}(X_1)$
Nimm und wählen Sie die drei Parameter aus, um die Werte von , und . $X_2|X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{21}X_1+\alpha_{22},\beta_{2})$ $\mathbb{E}[X_2]$ $\text{var}(X_2)$ $\text{cov}(X_1,X_2)$
Nimm und wähle die vier Parameter aus, um die Werte von , , und $X_3|X_1,X_2\sim \text{Ga}(\alpha_{31}X_1+\alpha_{32}X_2+\alpha_{33},\beta_{3})$ $\mathbb{E}[X_3]$ $\text{var}(X_3)$ $\text{cov}(X_1,X_3)$ . $\text{cov}(X_2,X_3)$

und so weiter ... Angesichts der Einschränkungen der Parameter und der nichtlinearen Natur der Momentgleichungen kann es jedoch vorkommen, dass einige Momentensätze keinem akzeptablen Parametersatz entsprechen.

Wenn zum Beispiel , habe ich das Gleichungssystem $k=2$

β_{1} = μ_{1} / σ_{1}^{2}, α_{11} - μ_{1} β_{1} = 0

$\beta_1 =\mu_1/\sigma_1^2\,,\quad \alpha_{11}-\mu_1\beta_1 =0$

α_{22} = μ_{2} β_{2} - α_{21} μ_{1}, α_{21} = \frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})}{σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1}} β_{2}

$\alpha_{22} = \mu_2\beta_2 - \alpha_{21}\mu_1\,,\quad \alpha_{21} = \dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)}{\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1}\beta_2$

\frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})^{2}}{(σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1})^{2}} σ_{1}^{2} + \frac{μ_{2}}{β_{2}} = σ_{2}^{2} .

$\dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)^2}{(\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1)^2} \sigma_1^2 + \dfrac{\mu_2}{\beta_2} = \sigma^2_2\,.$

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{2}

$\mathbb{R}_+^2$

update (04/04): deinst hat diese frage als neue frage im mathematikforum umformuliert .

— Xi'an
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1

f (X | θ) = h (x) e^{θ^{T} X - A (θ)} .

$f(\mathbf{X}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{\mathbf\theta^T\mathbf{X}-A(\mathbf\theta)}.$

A

$A$

h

$h$

A

$A$

@deinst: (+1) Haben Sie ein Beispiel, in dem diese exponentielle Familienrepräsentation direkt ausgenutzt werden kann?

— Xi'an,

2

(X, Y)

$(X,Y)$

F

$F$

R_{+}

$\mathbb R_{+}$

0 < μ < \infty

$0 < \mu < \infty$

ρ

$\rho$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

1

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{k}

$\mathbb{R}^k_+$

2

X

$X$

Y

$Y$

F

$F$

μ

$\mu$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

Y

$Y$

X

$X$

2

OK, das ist eine Antwort auf Xi'ans Kommentar. Es ist zu lang und hat zu viel TeX, um ein bequemer Kommentar zu sein. Vorbehalt Lector: Es ist so gut wie sicher, dass ich einen Algebrafehler gemacht habe. Dies scheint nicht ganz so flexibel zu sein, wie ich zuerst dachte.

Lassen Sie uns eine Verteilungsfamilie in erstellen. $\mathbb{R}_+^3$

f (x | θ) = h (x) e^{- θ^{T} x - A (θ)}

$f(\mathbf{x}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{-\mathbf\theta^T\mathbf{x}-A(\mathbf\theta)}$ Let

x = (x, y, z)

$\mathbf{x}=(x,y,z)$ and

θ = (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})

$\mathbf\theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$ . Let

h (x) = c x_{1}^{e_{1} - 1} x_{2}^{e_{2} - 1} x_{3}^{e_{3} - 1} + d x_{1}^{f_{1} - 1} x_{2}^{f_{2} - 1} x_{3}^{f_{3} - 1}

$h(\mathbf{x})=c x_1^{e_1-1}x_2^{e_2-1}x_3^{e_3-1}+d x_1^{f_1-1}x_2^{f_2-1}x_3^{f_3-1}$ be a two term polynomial where

e_{i}, f_{i}

$e_i, f_i$ are real numbers greater than 0 for all

i

$i$ . Then we find that

A (θ) = \log (c \frac{Γ (e_{1})}{θ_{1}^{e_{1}}} \frac{Γ (e_{2})}{θ_{2}^{e_{2}}} \frac{Γ (e_{3})}{θ_{3}^{e_{3}}} + d \frac{Γ (f_{1})}{θ_{1}^{f_{1}}} \frac{Γ (f_{2})}{θ_{2}^{f_{2}}} \frac{Γ (f_{3})}{θ_{3}^{f_{3}}}) .

$A(\mathbf\theta)=\log\left(c\frac{\Gamma(e_1)}{\theta_1^{e_1}}\frac{\Gamma(e_2)}{\theta_2^{e_2}}\frac{\Gamma(e_3)}{\theta_3^{e_3}}+d\frac{\Gamma(f_1)}{\theta_1^{f_1}}\frac{\Gamma(f_2)}{\theta_2^{f_2}}\frac{\Gamma(f_3)}{\theta_3^{f_3}}\right).$

Now, for convenience let us define

c^{'} = c Γ (e_{1}) Γ (e_{2}) Γ (e_{2}) θ_{1}^{f_{1}} θ_{2}^{f_{2}} θ_{3}^{f_{3}}

$c'=c\Gamma(e_1)\Gamma(e_2)\Gamma(e_2)\theta_1^{f_1}\theta_2^{f_2}\theta_3^{f_3}$ and

d^{'} = d Γ (f_{1}) Γ (f_{2}) Γ (f_{2}) θ_{1}^{e_{1}} θ_{2}^{e_{2}} θ_{3}^{e_{3}}

$d'=d\Gamma(f_1)\Gamma(f_2)\Gamma(f_2)\theta_1^{e_1}\theta_2^{e_2}\theta_3^{e_3}$

Now, as the mean of our distribution is the gradient of $A$ , we have $\mu_X=\frac{e_1c'+f_1d'}{\theta_1(c'+d')}$ , $\mu_Y=\frac{e_2c'+f_2d'}{\theta_2(c'+d')}$ , and $\mu_Z=\frac{e_3c'+f_3d'}{\theta_3(c'+d')}$ . And as the covariance is the Hessian of $A$ , we have

σ_{X}^{2} = \frac{(e_{1} c^{'} + f_{1} d^{'}) (c^{'} + d^{'}) + (e_{1} - f_{1})^{2} c^{'} d^{'}}{θ_{1}^{2} (c^{'} + d^{'})^{2}}

$\sigma_X^2=\frac{(e_1c'+f_1d')(c'+d')+(e_1-f_1)^2c'd'}{\theta_1^2(c'+d')^2}$ and

Cov (X, Y) = \frac{(e_{1} - f_{1}) (e_{2} - f_{2}) c^{'} d^{'}}{θ_{1} θ_{2} (c^{'} + d^{'})}

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{(e_1-f_1)(e_2-f_2)c'd'}{\theta_1\theta_2(c'+d')}$ (the other terms of the covariance matrix obtained by changing subscripts in the obvious way).

This does not seem to be quite enough flexibility to get any covariance matrix. I need to try another term in the polynomial (but I suspect that also may not work (obviously I need to think about this more)).

— deinst
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Four parameters

(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, c)

$(\theta_1,\theta_2,\theta_3,c)$ for five constraints...?

— Xi'an

@xian There are the 6 exponents

e_{i}

$e_i$ and

f_{i}

$f_i$ as well.

— deinst

I am slightly (?) confused: you did not process the exponents as parameters of the exponential family. But indeed you can change those powers as you wish towards getting the 9 moment equations right.

— Xi'an

@Xi'an You are correct, I did not process them as parameters of the exponential family. Doing so would have made the family no longer a natural family, and including them would have just muddled the algebra for comuting the moment equations (which was muddled enough to begin with).

— deinst