Welche Varianzschätzung soll für einen Wald-Test verwendet werden?

Ich habe die folgende Rechtfertigung für den Wald-Test der Nullhypothese für einen skalaren Parameter . Wenn die MLE für , die aus einer unabhängigen Stichprobe der Größe geschätzt wird , haben wir unter der Nullhypothese in Verteilung als , wobei die erwartete Information für eine einzelne Beobachtung ist, ausgewertet bei . Daher scheint es mir, dass wir die Teststatistik verwenden sollten$H_0: \theta = \theta_0$$\theta$$\hat{\theta}_n$$\theta$$n$$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$$n\rightarrow \infty$$i(\theta_0)$$\theta_0$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

das ist ungefähr für großes . Es scheint jedoch üblicher zu sein, die Wald-Statistik als zu schreiben$N(0,1)$$n$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

dh die erwartete Informationen auszuwerten θ anstatt bei θ 0 . Meine Frage ist, wenn man bedenkt, dass wir die Verteilung der Teststatistik unter der Null benötigen, um unseren Hypothesentest durchzuführen, ist es nicht sinnvoller, den Standardfehler unter der Null zu schätzen, dh s zu schätzen . e . ( Θ ) durch √$\hat{\theta}$$\theta_0$$s.e.\left(\hat{\theta}\right)$ ?$\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$

Jeder Ansatz ist legitim, wobei beide zu derselben asymptotischen Nullverteilung der Statistik führen.

bedeutetdass θ n→pθ0sodaß der kontinuierlichen Abbildungssatz (CMT) ergibtdaßi( θ n)→pi(θ0), vorausgesetzt, wie es bei regulären Problemen der Fall ist, dassistetig ist. Dann wieder von der CMT, $\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$$\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$$i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$$i$

$$\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta}_n)}}\to_p\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0 )}}$$ und Theorem ergibt, dass unter . $$\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1)$$ $H_0$