Vollständige Statistik für

Ich würde gerne wissen, ob die Statistik vollständig ist für in einer -Einstellung.

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$

σ^{2}

$\sigma^2$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

Hängt dies davon ab, ob zuvor bekannt ist oder nicht? Wenn für vollständig ist , dann ist es von Lehmann-Scheffé UMVUE . Aber wenn bekannt wäre, hätten wir dessen Varianz gleich der ist Cramer-Rao band und ist streng kleiner als , so dass nicht UMVUE sein konnte. $\mu$ $T$ $\sigma^2$ $\mu$

W (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}}{n},

$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$

2 σ^{4} / n

$2\sigma^4/n$

2 σ^{4} / (n - 1) = Var [T]

$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$

T

$T$

— user39756
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Vielleicht würden Sie mir zustimmen, dass T nicht unvoreingenommen ist, wenn mu bekannt ist.

— Michael R. Chernick

@ MichaelChernick Hast du im Allgemeinen nicht das ?

E [T] = σ^{2}

$E[T]=\sigma^2$

— user39756

Entschuldigung, Sie haben Recht. T hat den in der Formel verwendeten Stichprobenmittelwert. Ich dachte an W.

— Michael R. Chernick

Hinweis : Haben Sie überprüfen , um zu sehen , ob ist ausreichend in dem Fall , in dem bekannt ist?

T

$T$

μ

$\mu$

— Kardinal

Antworten:

Ich glaube, ich habe meine eigene Frage gelöst. Kommentare zu dieser Antwort und neue Antworten sind willkommen.

Wenn sind Beobachtungen in einem Bevölkerung und ist unbekannt , dann (dies zeigt, dass die normale Familie ist eine exponentielle Familie). Als Bild der Karte enthält eine offene Menge von nach einem Satz (siehe z. B. Seite 6 hier ), der Statistik $x_1,\ldots,x_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $\mu$

f (x_{1}, \dots, x_{n} | μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{n μ^{2}}{2 σ^{2}}} e^{\frac{μ}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$

(μ, σ^{2}) \in R \times R^{+} \mapsto (\frac{μ}{σ^{2}}, - \frac{1}{2 σ^{2}})

$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

U = (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2})

$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ ist ausreichend und vollständig für . Da eine Funktion von und für zentriert ist , ist von Lehmann-Scheffé UMVUE für .

(μ, σ^{2})

$(\mu,\sigma^2)$

T

$T$

U

$U$

σ^{2}

$\sigma^2$

T

$T$

σ^{2}

$\sigma^2$

Nun, wenn ist bekannt , nicht gehören in den Parameterraum mehr, deshalb ist die "neue" Dichtefunktion (wir haben eine neue exponentielle Familie). Da das Bild der Karte eine offene Teilmenge von , ist unsere Statistik ausreichend und vervollständigen für . Da es zusätzlich zentriert ist, ist UMVUE für von Lehmann-Scheffé. $\mu=\mu_0$ $\mu$

f (x_{1}, \dots, x_{n} | σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{n} e^{- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ_{0})^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$

σ^{2} \in R^{+} \mapsto - \frac{1}{2 σ^{2}}

$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$

R

$\mathbb{R}$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

— user39756
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In Ihrer Statistik wird als Schätzung von . Wenn Sie den wahren Wert von , ist der Schätzer der Varianz vorzuziehen. ist neutral und hat eine niedrigere Varianz als . So wird in der Umgebung , wo bekannt ist, verwenden . $T(X_{1},\ldots,X_{n})$ $\bar{X}$ $\mu$ $\mu$ $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ $W$ $T$ $\mu$ $W$

— Ed P.
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Ich weiß, dass vorzuziehen ist, aber ich würde gerne verstehen, warum nicht vollständig ist, wenn bekannt ist.

W

$W$

T

$T$

μ

$\mu$

— user39756

Ich habe das Netz durchsucht und mein Gedächtnis nach dem Lehmann-Scheffe-Theorem und Rao-Blackwell aufgefrischt. Ich stimme dem OP zu, dass die Antwort sein könnte, dass T keine vollständig ausreichende Statistik ist, wenn mu bekannt ist. Ich denke in kann sein, dass sich der Parameterraum ändert.

— Michael R. Chernick