Sind zwei normale Standard-Zufallsvariablen immer unabhängig?

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Ich habe gelernt, dass die Standardnormalverteilung eindeutig ist, weil der Mittelwert und die Varianz auf 0 bzw. 1 festgelegt sind. Aufgrund dieser Tatsache frage ich mich, ob zwei Standard-Zufallsvariablen unabhängig sein müssen.

normal-distribution independence

— C. Hawk
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Warum sollten sie sein ..? Unabhängigkeit hat nichts mit Verteilung zu tun.

— Tim

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Betrachten und . Sie sind nicht unabhängig.

X

$X$

X

$X$

— Djechlin

Dies kann aus praktischer Sicht hilfreich sein. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinStarted

Zusätzlich zu den netten Beispielen wird allgemein eine bivariate Normalverteilung mit N (0,!) - Randverteilungen betrachtet. Es ist möglich, eine Korrelation zwischen -1 und 1 zu haben. Die folgenden Beispiele sind alle Sonderfälle. Abgesehen davon ist es möglich, dass zwei Standardnormalvariablen abhängig sind, aber keine bivariate Verteilung haben.

— Michael R. Chernick

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Ich stelle fest, dass Batman ein allgemeines Ergebnis liefert, das möglicherweise dem entspricht, was ich vorschlage. Der Fall Y = -X hat die Korrelation -1 und ist somit eine entartete Form einer bivariaten Normalen. Ich habe hier (in diesem Beitrag) kein Beispiel gesehen, das einen nicht bivarianten Normalfall veranschaulicht.

— Michael R. Chernick

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Die Antwort ist nein. Wenn zum Beispiel eine Standard-Zufallsvariable ist, folgt der gleichen Statistik, aber und sind eindeutig abhängig. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— zap
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Nein, es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass zwei Standard-Gaußsche unabhängig sind.

Hier ist eine einfache mathematische Konstruktion. Angenommen, und sind zwei unabhängige normale Standardvariablen. Dann das Paar $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

sind zwei abhängige normale Standardvariablen. Solange es also zwei unabhängige normale Variablen gibt, müssen zwei abhängige Variablen vorhanden sein .

Die zweite Variable ist normal, da jede lineare Kombination unabhängiger normaler Variablen wieder normal ist. Das ist da, um die Varianz gleichzu machen. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y.}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y.)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Diese sind intuitiv abhängig, da Sie durch die Kenntnis des Werts von zusätzliche Informationen erhalten, mit denen Sie den Wert der zweiten Variablen vorhersagen können. Wenn Sie beispielsweise wissen, dass , ist die bedingte Erwartung der zweiten Variablen $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y.}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
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Hier ist eine ziemlich breite Antwort:

Sei gemeinsam eine Gaußsche Zufallsvariable (dh für beliebige reelle Zahlen hat eine Gaußsche Verteilung). Dann sind und genau dann unabhängig, wenn (dh sie sind nicht korreliert). Sehen Sie diese Hinweise , beispielsweise für weitere Einzelheiten. $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

Wie können normale Standard-Zufallsvariablen generiert werden, die nicht unabhängig sind? Wählen Sie Ihre Lieblingsmatrix der Form so dass positive Wurzeln in . Wenden Sie dann die Cholesky-Zerlegung auf . Nehmen Sie dann zwei unabhängige normale Standard-Zufallsvariablen und dann den Vektor $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ hat normale Standardkomponenten, aber die Komponenten sind genau dann unabhängig, wenn . $p=0$

— Batman
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Ein nicht bivariates normales Beispiel (wie Michael Chernick in den Kommentaren vorschlägt):

Sei $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$

$f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$

— Batman
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