Verteilungen über sortierte Listen

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Angenommen, wir haben eine geordnete Liste von Artikeln

[a, b, c, ... x, y, z, ...]

Ich suche eine Familie von Distributionen mit Unterstützung für die obige Liste, die von einem Parameter Alpha gesteuert wird, damit:

Für Alpha = 0 wird dem ersten Element eine Wahrscheinlichkeit von 1 und dem Rest eine Wahrscheinlichkeit von 0 zugewiesen. Das heißt, wenn wir aus dieser Liste mit Ersatz probieren, erhalten wir immer a.
Mit zunehmendem Alpha weisen wir dem Rest der Liste immer höhere Wahrscheinlichkeiten zu, wobei wir die Reihenfolge der Liste nach dem exponentiellen Zerfall berücksichtigen.
Wenn Alpha = 1 ist, weisen wir allen Elementen in der Liste die gleiche Wahrscheinlichkeit zu, sodass das Abtasten aus der Liste dem Ignorieren der Reihenfolge entspricht.

Dies ist der geometrischen Verteilung sehr ähnlich, es gibt jedoch einige bemerkenswerte Unterschiede:

Die geometrische Verteilungsverteilung wird über alle natürlichen Zahlen definiert. In meinem obigen Fall hat die Liste eine feste Größe.
Die geometrische Verteilung ist für alpha = 0 nicht definiert.

distributions sampling discrete-data

— Amelio Vazquez-Reina
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Sie scheinen eine Familie abgeschnittener geometrischer Verteilungen zu beschreiben. Es gibt jedoch unendlich viele Familien, die sich qualitativ wie Ihre Beschreibung verhalten. Mehr auf den Punkt zu bringen wäre also zu erklären, wofür Sie eine solche Familie verwenden möchten.

— whuber

Danke @whuber Ja, ich verstehe, dass es unendlich viele Distributionen gibt, die zu dieser Beschreibung passen. Irgendwelche spezifischen, die mir in den Sinn kommen? Ich habe ein System, das derzeit das erste Element dieser Liste auswählt (das Punktzahlen darstellt), aber ich möchte diese Auswahl randomisieren (und diese Randomisierung parametrisieren). Ich suche keine bestimmte Art von "Zerfall" basierend auf Alpha. Solange alpha = 0 keine Randomisierung darstellt, dh das erste Element auswählen, 1 "beliebiges Element auswählen" und Alphas zwischen 0 und 1 "etwas dazwischen" für diese beiden Alphas darstellen, wäre dies gut genug.

— Amelio Vazquez-Reina

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$r_i$ $i$ $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ $n$ $i$

p_{i} = \frac{α^{r_{i}}}{\sum_{k = 1}^{n} α^{r_{k}}}

$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$

$\alpha=0$ $0^0 = 1$ $\alpha < 1$ $\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$ $\alpha=1$ $n$

$\alpha=1$ $\alpha\rightarrow 0$

$\alpha=0.5$

p_{0} \approx 0.5005 p_{1} \approx 0.2502 p_{2} \approx 0.1251 p_{3} \approx 0.0626 p_{4} \approx 0.0313 p_{5} \approx 0.0156 p_{6} \approx 0.0078 p_{7} \approx 0.0039 p_{8} \approx 0.0020 p_{9} \approx 0.0010

$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$

$\alpha$

— Josliber
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Nett. Das ist viel klüger als ich es mir jemals erhoffen könnte.

— Matthew Drury

@ Matthew Dies sind die abgeschnittenen geometrischen Verteilungen, auf die ich zuvor Bezug genommen habe.

— whuber

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Ich werde versuchen, ein Beispiel aus ersten Prinzipien zu bauen.

Nehmen wir drei Verteilungen als unsere Bausteine:

P ist die Verteilung, die dem ersten Element der Liste die Wahrscheinlichkeit eins und allen anderen die Wahrscheinlichkeit Null zuweist.
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $1$
U ist die gleichmäßige Verteilung über die Liste.

Nun wollen wir eine Ein-Parameter-Familie positiver konvexer Kombinationen dieser Verteilungen nehmen

α (t) P + β (t) E + γ (t) U

$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$

$\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$ $t \in [0, 1]$ $\alpha(0) = 1$ $\gamma(1) = 1$

$(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$ $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ $t \in (0, 1)$

Hier ist eine Option für die Kurve:

(1 - t (1 - t)) (1 - t, 0, t) + t (1 - t) (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$

$(1-t, 0, t)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$ $t \in (0, 1)$

— Matthew Drury
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