Finden der MLE für einen univariaten exponentiellen Hawkes-Prozess

Der univariate exponentielle Hawkes-Prozess ist ein aufregender Punktprozess mit einer Ereignisankunftsrate von:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

Dabei sind die Ereignisankunftszeiten.$t_1,..t_n$

Die Log Likelihood Funktion ist

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

was rekursiv berechnet werden kann:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Welche numerischen Methoden kann ich verwenden, um die MLE zu finden? Was ist die einfachste praktische Methode zur Implementierung?

Der Nelder-Mead-Simplex-Algorithmus scheint gut zu funktionieren. Er wird in Java von der Apache Commons Math-Bibliothek unter https://commons.apache.org/math/ implementiert . Ich habe auch einen Artikel über die Hawkes-Prozesse bei Point Process Models für multivariate Hochfrequenzdaten mit unregelmäßigen Abständen geschrieben .

felix, der exp / log transforms verwendet, scheint die sicherheit der parameter zu gewährleisten. Durchsuchen Sie arxiv.org nach einem Artikel mit dem Titel "Grenzwertsätze für nahezu instabile Hawkes-Prozesse".

Ich habe dieses Problem mit der nlopt- Bibliothek gelöst . Ich fand eine Reihe von Methoden ziemlich schnell konvergiert.

Sie können auch eine einfache Maximierung durchführen. In R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)