Wie erhalte ich das Konfidenzintervall eines Bernoulli-Versuchs, wenn ?

Ich weiß, dass die Standardformel für das Bernoulli CI lautet:

\hat{p} \pm z_{1 - α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}

$\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Wenn $\hat{p} = \frac{m}{n}$ wie schätze ich das Konfidenzintervall, wenn $\ n$ klein und $\ m = 0$ ? Dieser Fall würde die obige Gleichung auf $\ 0 \pm 0$ reduzieren, was impliziert, dass sich das Konfidenzintervall mit größerem nicht verbessert $\ n$ .

Meiner Meinung nach sollte der CI bei [0,1] beginnen und die Obergrenze sollte mit zunehmendem abnehmen $\ n$ , vorausgesetzt, $\ m$ bleibt bei 0.

confidence-interval small-sample bernoulli-distribution

— Japata
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Sie könnten die tatsächliche Wahrscheinlichkeitsfunktion Ihrer Daten L (p) verwenden, die proportional zu

p^{m} (1 - p)^{n - m}

$p^m\,(1-p)^{n-m}$ Wenn Sie einige vor p haben, zum Beispiel eine Beta-Verteilung, können Sie die posterioren und erhalten die glaubwürdigen Intervalle auf p.

— sega_sai

Beachten Sie, dass dies auch für .

\hat{p} = 1

$\hat{p}=1$

— Alexis

Durch Ausführen einer Bayes'schen Analyse der Daten wird ein glaubwürdiges Intervall erzeugt, selbst wenn .

\hat{p} = 0

$\hat{p}=0$

— Xi'an

Eine Möglichkeit, die manchmal in einigen Anwendungsbereichen verwendet wird, wird als " Dreierregel " bezeichnet. Siehe auch Wikipedia- Seite darauf

— Glen_b -Rate State Monica

Der Grund, warum das übliche "CLT" -Konfidenzintervall 0 wird, ist, dass wenn sehr nahe an 0 oder 1 liegt (und die relative Anzahl von Abtastwerten niedrig ist), die CLT eine schlechte Annäherung wird. Dies liegt daran, dass bei Ihre Zufallsvariable konstant ist. Wenn sehr nahe bei 1 oder 0 liegt, benötigen Sie eine sehr große Anzahl von Stichproben, um von genau 1 oder 0 zu unterscheiden. $p$ $p=0,1$ $p$ $p$

Es gibt verschiedene Ansätze, um das wahre Konfidenzintervall zu erhalten. Der einfache Weg ist, sich an das Wilson-Intervall zu wenden :

\frac{1}{1 + \frac{1}{n} z^{2}} [\hat{p} + \frac{1}{2 n} z^{2} \pm z \sqrt{\frac{1}{n} \hat{p} (1 - \hat{p}) + \frac{1}{4 n^{2}} z^{2}}] .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{n} z^2} \left[ \hat{p} + \frac{1}{2n} z^2 \pm z \sqrt{ \frac{1}{n}\hat{p} \left(1 - \hat{p}\right) + \frac{1}{4n^2}z^2 } \right].$

Die zweite Möglichkeit besteht darin, das wahre Konfidenzintervall numerisch zu schätzen, indem die Binomialverteilung explizit verwendet wird, anstatt die Normalverteilung anzusprechen.

— Alex R.
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Danke für die Hilfe! Das Wilson-Score-Intervall entspricht eher meinen Erwartungen. Ich werde diese verschiedenen Methoden für Konfidenzintervalle etwas lesen, da ich nur den CLT-Methoden ausgesetzt war.

— Japata