Verwenden Sie für den Hypothesentest, dass weil die Konvergenzrate schneller ist?

Angenommen, ich habe sind iid und ich möchte einen Hypothesentest durchführen, bei dem 0 ist. Angenommen, ich habe ein großes n und kann den zentralen Grenzwertsatz verwenden. Ich könnte auch einen Test machen, bei dem 0 ist, was gleichbedeutend ist mit dem Test, dass 0 ist. Außerdem konvergiert gegen ein Chi-Quadrat, wobei konvergiert zu einer Normalen. Da eine schnellere Konvergenzrate hat, sollte ich diese nicht für die Teststatistik verwenden und damit eine schnellere Konvergenzrate erhalten und der Test effizienter sein? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Ich weiß, dass diese Logik falsch ist, aber ich habe lange nachgedacht und gesucht und kann nicht herausfinden, warum.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Xu Wang
quelle

Es ist nicht klar, was Sie fragen. Können Sie erklären, in welchem Sinne die Konvergenzrate von "schneller" ist als die von ? Wie messen Sie die Rate? Welche Teststatistik verwenden Sie in den beiden Tests? Natürlich können diese Entscheidungen einen Unterschied machen.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— Whuber

@whuber danke für Fragen. Ich behaupte "schnellere Rate", weil n größer als die Quadratwurzel von n ist. Ist diese Intuition falsch? Ich denke an die Teststatistik X-Bar oder X-Bar im Quadrat.

— Xu Wang

Ich denke, Sie konzentrieren sich auf das Falsche. Diese Rate gibt an, wie schnell sich die Stichprobenverteilung dem Grenzwert nähert - entweder Standard Normal oder

. Da

groß ist, macht sein Wert keinen praktischen Unterschied - es ist irrelevant. Das Problem betrifft die Leistung jedes Tests und nicht, wie gut die Teststatistik an die Grenzverteilung angenähert ist.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@whuber danke für diese Details. Ich habe über sie nachgedacht, aber immer noch nicht verstanden. Wird die ungefähre Varianz von X-Balken ^ 2 schließlich kleiner sein als die ungefähre Varianz von X-Balken? Und ist das nicht ein Ergebnis von X-Bar ^ 2 mit einer höheren Konvergenzrate als X-Bar? Es tut mir leid, dass ich meine grundlegenden Missverständnisse nicht gesehen habe. Ich weiß, dass ich etwas Großes vermisse und hoffe, dieses Denken zu korrigieren.

— Xu Wang

Es spielt keine Rolle, ob die ungefähre Varianz größer oder kleiner ist, denn es kommt auf die Verteilung der Statistik an. Betrachten Sie dazu einen t-Test für

mit

. Die Statistik

immer die 100-fache Abweichung von

, aber die Normalisierung führt zu beiden tatsächlichen Teststatistiken, die

. Denken Sie in Ihrem Fall daran, dass Sie ein

quadrieren

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

variate ergibt

variate. Im Grenzfall bedeutet diese Transformation, dass die beiden Tests in Bezug auf ihre Leistung bei einem bestimmten Niveau identisch sind.

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— Bogenschütze

Beide von Ihnen beschriebenen Tests sind gleichwertig.

Wenn ich zwei Hypothesen habe:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

dann sind sie äquivalent zu

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

$\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

$\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

$\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
quelle