Parameterschätzungen für die Dreiecksverteilung

Eine Frage , wurde veröffentlicht hier (deleted jetzt) in Bezug auf die Parameter der Schätzdreiecksverteilung , die Dichte

f (x; a, b, c) = {\begin{cases} 0 & for x < a, \\ \frac{2 (x - a)}{(b - a) (c - a)} & for a \leq x \leq c, \\ \frac{2 (b - x)}{(b - a) (b - c)} & for c < x \leq b, \\ 0 & for b < x . \end{cases}

$f(x;a,b,c)=\begin{cases} \quad 0 & \text{for } x < a, \\ \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{for } a \le x \le c, \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{for } c < x \le b, \\\quad 0 & \text{for } b < x. \end{cases}$

Aber die Frage ist es wert, gestellt zu werden, also stelle ich sie selbst.

Wie lassen sich die Parameter für diese Verteilung gut abschätzen?

Die Diskussion über MLE ist gut, aber andere Schätzer können fruchtbare Antworten liefern.

Anmerkung 1: Viele Dokumente im Zusammenhang mit PERT scheinen und zu verwenden, um und zu schätzen, und verwenden dann (vorausgesetzt) die Methode der Momente für . Wenn Sie sich insbesondere für diesen Ansatz aussprechen, wäre eine Diskussion über Effizienz am hilfreichsten, aber zumindest ein Grund für die Wahl (oder ein ähnlicher) wäre wichtig. $X_{(1)}$ $X_{(n)}$ $a$ $b$ $c$

Anmerkung 2:

[Vielleicht sollte dies der Beginn einer Antwort sein, aber ich werde sie hier als Anleitung für Antworten in Bezug auf ML für die Gegenwart platzieren.]

Beachten Sie, dass für MLE das Setzen von Ableitungen der Log-Wahrscheinlichkeit auf Null nicht funktioniert.

Zum Beispiel für bekanntes und (welches wlog können wir durch einfaches Neuskalieren als 0,1 annehmen), siehe die Diskussion zu MLE für hier: MLE für die Dreiecksverteilung? . $a$ $b$ $c$

Darüber hinaus sind die ML-Schätzungen für die Endpunkte und im Allgemeinen nicht die Statistiken für extreme Ordnungen. Siehe zum Beispiel hier (1) $a$ $b$

(1) Kotz, Samuel und Johan Rene van Dorp (2004),
The Triangular Distribution, (Kapitel 1)
Beyond Beta - Andere kontinuierliche Verteilungsfamilien mit begrenzter Unterstützung und Anwendung,
World Scienti ﬁ c, NJ
( Beispielkapitel )

— Glen_b -State Monica
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Verwenden der Statistik extremer Ordnung als Schätzer für die Grenzen und anschließende Verwendung $a,b$

E. (X.) = \frac{ein + b + c}{3}

$E(X) = \frac {a+b+c}{3}$

nach der Methode der Momente zu schätzen ist so ... unglaublich einfach, $c$

\hat{ein} = {X.}_{(1)}, \hat{b} = {X.}_{(n)}, \hat{c} = 3 \bar{X.} - - \hat{ein} - - \hat{b}

$\hat a = X_{(1)},\;\; \hat b = X_{(n)},\;\;\hat c = 3\bar X - \hat a - \hat b$ Ich dachte darüber nach, wie ich anfangen könnte, indem ich zuerst schätze , nur für die Wendung . Hier ist es aber noch nicht mit irgendwelchen Eigenschaften des Schätzers. Ich werde dieses Community-Wiki erstellen, falls jemand daran interessiert ist, es weiterzuentwickeln.

c

$c$

1) Erhalten Sie die empirischen Quartile und bilden Sie den Interquartilbereich $\hat q_1, \hat q_3$ $\text{IQR} = \hat q_3 - \hat q_1$

2) Verwenden Sie die Friedman-Diaconis-Regel, um die Daten zu speichern.

Behältergröße = 2 \frac{IQR}{n^{1 /. 3}}

$\text{Bin size}=2\, { \text{IQR} \over{ {n^{1/3}} }}$

3) Bilden Sie das empirische Histogramm und schätzen Sie als Mittelpunkt des Behälters mit der höchsten empirischen Häufigkeit. $\hat c$

4) Löse dann für das Gleichungssystem $a,b$

q_{1} = ein + \frac{\sqrt{(c - - ein) (b - - ein)}}{2}

$q_1 = a + \frac {\sqrt{(c-a)(b-a)}}{2}$

q_{3} = b + \frac{\sqrt{(b - - c) (b - - ein)}}{2}

$q_3 = b + \frac {\sqrt{(b-c)(b-a)}}{2}$

unter Verwendung der geschätzten (die inversen CDF-Ausdrücke, die ich aus dem Buchkapitel das das OP , Seite 8). $\hat q_1, \hat q_3, \hat c$

— Alecos Papadopoulos
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