Wie lautet die Formel für den Benjamini-Hochberg-bereinigten p-Wert?

Ich verstehe das Verfahren und was es steuert. Wie lautet also die Formel für den angepassten p-Wert in der BH-Prozedur für Mehrfachvergleiche?

In diesem Moment wurde mir klar, dass das ursprüngliche BH keine angepassten p-Werte produziert, sondern nur die (nicht-) Ablehnungsbedingung angepasst hat: https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth hat 2002 ohnehin angepasste BH p-Werte eingeführt, so dass die Frage immer noch zutrifft. Es ist in R wie p.adjustmit der Methode implementiert BH.

Das berühmte Seminar von Benjamini & Hochberg (1995) beschrieb die Vorgehensweise zum Akzeptieren / Ablehnen von Hypothesen basierend auf der Anpassung der Alpha-Level. Dieses Verfahren weist eine einfache äquivalente Neuformulierung in Bezug auf angepasste $p$ Werte auf, wurde jedoch in der ursprünglichen Veröffentlichung nicht erörtert. Gordon Smyth zufolge führte er bei der Implementierung in R im Jahr 2002 angepasste $p$ Werte ein p.adjust. Leider gibt es keine entsprechenden Zitate. Daher war mir immer unklar, was man zitieren sollte, wenn man BH-angepasste $p$ Werte verwendet.

Es stellte sich heraus, dass das Verfahren in Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) beschrieben ist :

$p$$p$

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Diese Formel sieht komplizierter aus als sie wirklich ist. Es sagt:

1. Ordnen Sie zunächst alle Werte von klein nach groß an. Dann multipliziere jeden Wert mit der Gesamtzahl der Tests und dividiere durch seine Rangfolge.$p$$p$$m$
2. Stellen Sie zweitens sicher, dass die resultierende Sequenz nicht abnimmt: Wenn sie jemals abnimmt, machen Sie den vorhergehenden Wert gleich dem folgenden (wiederholt, bis die gesamte Sequenz nicht abnimmt).$p$
3. Wenn ein Wert größer als 1 ist, muss er gleich 1 sein.$p$

Dies ist eine einfache Neuformulierung des ursprünglichen BH-Verfahrens aus dem Jahr 1995. Es gibt möglicherweise eine frühere Veröffentlichung, in der das Konzept der BH-bereinigten Werte explizit vorgestellt wurde, mir sind jedoch keine bekannt.$p$

Aktualisieren. @Zenit stellte fest, dass Yekutieli & Benjamini (1999) bereits 1999 dasselbe beschrieben haben:

Zuerst eine Antwort auf den Punkt. Es sei angenommen, dass der (einzelne Test) p- Wert ist, der dem Wert z 0 der Teststatistik zugeordnet ist. Der Benjamini-Hochberg-FDR wird in zwei Schritten berechnet ( N 0 = # pWerte ≤ p 0 , N = # pWerte):$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Jetzt lasst uns das verstehen. Die (Bayes'sche) Grundidee ist, dass Beobachtungen aus einer Mischung von zwei Verteilungen stammen:

• Beobachtungen aus der Nulldichte f 0 ( z $\pi_0 \: N$$f_0(z)$
• Beobachtungen aus der alternativen Dichte f 1 ( z ) .$(1-\pi_0) \: N$$f_1(z)$

Was beobachtet wird, ist die Mischung dieser beiden:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

Die (Bayes'schen) Definitionen sind:

• (ein Bruchteil der Schwanzflächen)$\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$

$\pi_0 \approx 1$

(Basierend auf Efron & Tibshiranis Computer Age Statistical Inference )