Wie ist die Verteilung der Stichprobenmittel einer Cauchy-Verteilung?

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Wenn man zufällige Stichprobenmittelwerte einer Verteilung (mit einer Stichprobengröße von mehr als 30) nimmt, erhält man typischerweise eine Normalverteilung, die sich um den Mittelwert zentriert. Ich habe jedoch gehört, dass die Cauchy-Verteilung keinen Mittelwert hat. Welche Verteilung erhält man dann, wenn man Probenmittel der Cauchy-Verteilung erhält?

Grundsätzlich ist für eine Cauchy-Distribution undefiniert. Was ist also und wie ist die Verteilung von ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
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Auf der Wikipedia-Seite sieht es so aus, als hätte der Stichprobenmittelwert der iid Cauchy-Variablen dieselbe Verteilung wie die Stichproben selbst.

— GeoMatt22

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Wenn iid Cauchy , können wir anhand eines charakteristischen Funktionsarguments zeigen, dass auch Cauchy : $X_1, \ldots, X_n$ $(0, 1)$ $\bar{X}$ $(0, 1)$

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

Das ist die charakteristische Funktion der Standard-Cauchy-Verteilung. Der Beweis für den allgemeineren Fall Cauchy ist grundsätzlich identisch. $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
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Um denjenigen zu helfen, die möglicherweise Probleme beim Verbinden einiger Details haben, verwendet der Schritt von der zweiten zur dritten Zeile die Unabhängigkeit, der nächste "identisch verteilt", der nächste kann auf verschiedene Arten erfolgen, aber der einfachste ist zu sehen dass die Erwartung innerhalb der Potenz das gleiche Integral ist wie die für ein Cauchy cf, aber in , also (wenn Sie das cf für ein Cauchy bereits kennen) erhalten Sie und dann die te Potenz herunterfahren, brechen die Terme ab.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -State Monica

Mir hat gefallen, dass die andere Antwort auch erklärte, dass dies eine stabile Verteilung bedeutet .

— Apollys unterstützt Monica

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Wenn man zufällige Stichprobenmittelwerte einer Verteilung (mit einer Stichprobengröße von mehr als 30) nimmt, erhält man typischerweise eine Normalverteilung, die sich um den Mittelwert zentriert.

Nicht genau. Sie denken an den zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass bei einer Folge von IID-Zufallsvariablen mit endlicher Varianz (die selbst einen endlichen Mittelwert impliziert ) der Ausdruck konvergiert in der Verteilung zu einer Normalverteilung, wenn gegen unendlich geht. Es gibt keine Garantie dafür, dass der Stichprobenmittelwert einer endlichen Teilmenge der Variablen normal verteilt ist. $X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Ich habe jedoch gehört, dass die Cauchy-Verteilung keinen Mittelwert hat. Welche Verteilung erhält man dann, wenn man Probenmittel der Cauchy-Verteilung erhält?

Wie GeoMatt22 sagte, werden die Probenmittel selbst Cauchy verteilt sein. Mit anderen Worten ist die Cauchy-Verteilung eine stabile Verteilung .

Beachten Sie, dass der zentrale Grenzwertsatz nicht für verteilte Cauchy-Zufallsvariablen gilt, da sie keinen endlichen Mittelwert und keine endliche Varianz haben.

— Kodiologe
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Mein Kommentar sollte etwas stärker sein als "Stichprobenmittelwert ist auch Cauchy", da der Stichprobenmittelwert dieselben Parameter hat . Das heißt, wie bei einer Normalverteilung ist der Standortparameter derselbe, aber im Gegensatz zum Normalfall ist auch der Skalierungsparameter derselbe (während im Normalfall die Skalierung mit abnimmt ). . Zumindest ist dies meine Interpretation der ersten beiden Transformationseigenschaften, die unter meinem Link aufgeführt sind.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

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Sie sagten: " Der Stichprobenmittelwert der ersten n Elemente konvergiert in der Verteilung zu einer Normalverteilung, wenn n gegen unendlich geht " ... nicht genau. Unter schwächeren Bedingungen, als Sie für die CLT benötigen, konvergiert der Mittelwert selbst gegen die Konstante (nach dem schwachen Gesetz großer Zahlen). Sie müssen den Mittelwert standardisieren, um eine Konvergenz zu einer Normalverteilung zu erreichen.

μ

$\mu$

— Glen_b -State Monica

@ DilipSarwate korrigiert. Vergessen Sie nicht, dass Sie die Antworten anderer Personen bearbeiten können.

— Kodiologe