Von der Gleichverteilung zur Exponentialverteilung und umgekehrt

Dies ist wahrscheinlich eine triviale Frage, aber meine Suche war bisher erfolglos, einschließlich dieses Wikipedia-Artikels und des Dokuments "Compendium of Distributions" .

Wenn eine gleichmäßige Verteilung hat, bedeutet dies, dass einer Exponentialverteilung folgt?e $X$$e^X$

Wenn einer Exponentialverteilung folgt, heißt das dann, dass einer gleichmäßigen Verteilung folgt?l n ( Y $Y$$ln(Y)$

Es ist nicht der Fall, dass die Exponentiierung einer einheitlichen Zufallsvariablen eine Exponentialzahl ergibt, noch ergibt die Aufnahme des Protokolls einer exponentiellen Zufallsvariablen eine Einheitlichkeit.

Sei gleichförmig auf ( 0 , 1 ) und sei X = exp ( U ) .$U$$(0,1)$$X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Also .$f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Dies ist keine exponentielle Variable. Eine ähnliche Berechnung zeigt, dass das Log eines Exponentials nicht einheitlich ist.

Sei Standardexponentiell, so ist F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = 1 - e - $Y$ .$F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Lassen . Dann ist F V ( v ) = P ( V ≤ v ) = P ( ln Y ≤ v ) = P ( Y ≤ e v ) = 1 - e - e $V=\ln Y$ .$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Dies ist keine Uniform. (Tatsächlich ist eine Gumbel- verteilte Zufallsvariable, so dass Sie die Verteilung von V als "gespiegelten Gumbel" bezeichnen können.)$-V$$V$

In jedem Fall können wir es jedoch schneller sehen, indem wir einfach die Grenzen von Zufallsvariablen betrachten. Wenn gleichförmig (0,1) ist, liegt es zwischen 0 und 1, also liegt X = exp ( U ) zwischen 1 und e ... also ist es nicht exponentiell. In ähnlicher Weise für Y exponential, ln Y ist ( - ∞ , ∞ ) , so dass nicht gleichförmig (0,1) sein kann, noch in der Tat jede andere einheitlich.$U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$

Wir könnten auch simulieren und es sofort wieder sehen:

Erstens, eine Uniform zu potenzieren -

[Die blaue Kurve ist die Dichte (1 / x im angegebenen Intervall), die wir oben berechnet haben ...]

Zweitens das Protokoll eines Exponentials:

Was wir sehen können, ist alles andere als einheitlich! (Wenn wir das zuvor erarbeitete cdf differenzieren, das die Dichte ergibt, stimmt es mit der hier gezeigten Form überein.)

In der Tat der inverse CDF - Verfahren gibt an, dass die negativen das Aufnahmeprotokoll eines einheitliches (0,1) einen Standard - Veränderlichen exponentiellen Zufallsvariable gibt, und umgekehrt, gibt das Negativ einer Standard exponentiellen Potenzieren eine Uniform. [Siehe auch Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation ]

$U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

$U$$P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$

$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

$\log$

Sie haben es fast wieder nach vorne. Du hast gefragt:

• $X$$e^X$

• $Y$$\ln(Y)$

Eigentlich

• $X$$[0,1]$$-\log_e(X)$$1$
• ob $Y$ folgt einer Exponentialverteilung mit Parameter $1$ dann $e^{-Y}$ hat eine gleichmäßige Verteilung auf $[0,1]$.

Allgemeiner könnte man sagen:

• ob $X$ ist einheitlich auf $[a,b]$ dann $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ folgt einer Exponentialverteilung mit Ratenparameter $k$
• ob $Y$ folgt einer Exponentialverteilung mit Ratenparameter $k$ dann $e^{-kY}$ hat eine gleichmäßige Verteilung auf $[0,1]$ während $a+(b-a)e^{-kY}$ hat eine gleichmäßige Verteilung auf $[a,b]$