Benötigen Sie immer weniger EXTRA richtige Antworten, um in standardisierten Prüfungen eine Bewertungskurve zu erreichen?

Eine Bewertungskurve des Vorjahres für eine Prüfung, an der ich teilnehmen werde, lautet:

Angenommen, die Prüfung enthält 100 (oder eine beliebige Anzahl) Fragen, die jeweils gleich gewichtet sind. Werden weniger zusätzliche richtige Antworten benötigt, um die Perzentile zu erhöhen, wenn Sie sich vom Durchschnitt entfernen?

Brauche ich beispielsweise weniger zusätzliche richtige Antworten, um vom 60. zum 70. Perzentil zu wechseln, als vom 45. zum 55. Perzentil? Und wenn ja, warum?

Mein Grund zu der Annahme, dass dies der Fall ist, liegt in einer anderen Kurve, die ich aus einer ähnlich markierten Prüfung habe:

Dieses Diagramm zeigt keine Perzentile, aber wenn man es betrachtet, scheint es weniger zusätzliche Markierungen zu erfordern, um die Perzentile zu erhöhen (oder zu senken), wenn man sich vom Durchschnitt entfernt. Hinweis: 1 Stern steht für 4 Schüler. Die Zahlen auf der linken Seite geben an, wie viele Rohfragen richtig sind. *

Ich kann mir jedoch keinen formalen Grund dafür ausdenken (meine statistischen Kenntnisse sind begrenzt).

Oder ist es so, dass 1 zusätzliche Markierung in der Prüfung mich die Perzentilkurve um den gleichen Betrag nach oben bewegen würde, unabhängig davon, wo auf der Kurve ich ursprünglich sitze?

Zu Ihrer Information: Diese Prüfung gibt uns kein AB oder C, je nachdem, wie viel Prozent von 100 wir bekommen. Es ordnet einfach die Schüler ein, so dass das 100. Perzentil (oder 99,99: das hat mich immer verwirrt) der beste Schüler sein wird, selbst wenn sie nur 50% der Antworten richtig verstanden haben.

Wenn Sie sich fragen, warum ich das wissen möchte. Meine Prüfung besteht aus mehreren Abschnitten und wir erhalten für jeden Abschnitt eine Perzentilbewertung. Die Gesamtpunktzahl ist dann der Durchschnitt jedes Abschnitts. Abhängig von der Antwort auf meine Frage wird also bestimmt, ob ich für alle Abschnitte der Prüfung gleichmäßig lerne (und beispielsweise den 55., 55., 55. anstrebe) oder mein Studium zugunsten meiner stärksten Fächer verzerre, um diese Note zu erreichen. " schnell "(und streben Sie beispielsweise den 45., 45., 80. an) die Perzentilkurve hinauf.

Ein gewisses Verständnis des Warum kann aus einem einfachen, aber realistischen Modell gewonnen werden.

Die in der Frage gezeigte Kurve stimmt mit einem 46-Fragen-Test überein, zu dem jede Frage beiträgt $100/46 \approx 2$zur Gesamtpunktzahl bei richtiger Beantwortung und sonst nichts. Es ist "konsistent" in dem Sinne, dass die Verteilung der Punktzahlen sehr nahe an dem liegt, was erhalten würde, wenn jeder Schüler jede Frage unabhängig mit a erraten würde$54.5\%$ Chance auf Richtigkeit und $100-54.5 = 45.5\%$ Chance, falsch zu sein.

Berücksichtigen Sie einige Umstände gegen Ende der Testdurchführung. Sie haben alle Fragen beantwortet; Sie kennen Ihre Punktzahl nicht; Aber Sie denken darüber nach, einige Antworten zu ändern.

1. Angenommen, Ihre Punktzahl (ohne Ihr Wissen) liegt in der Mitte und ist gleich $54.5$. Dies entspricht einer Rohpunktzahl von$54.5\% \times 46 = 25$und zeigt an, dass du hast $25$ Fragen richtig und $46-25=21$falsch. Wenn Sie eine Frage zufällig auswählen und ändern würden, gäbe es eine$25/46 = 54.5\%$ Zufall ist es richtig - und Sie würden Ihre Antwort in eine falsche verwandeln - und nur eine $45.5\%$wahrscheinlich ist es falsch und du würdest es in ein richtiges verwandeln. Daher ist es etwas schwieriger, die Punktzahl zu erhöhen, als sie zu verringern.

2. Angenommen, Ihre Punktzahl ist tatsächlich hoch und gleich $65$: das ist, $30$ richtig und $16$falsche Antworten. Jetzt geht es nur noch darum, zufällig auf eine der falschen Fragen zu landen und diese zu ändern - wodurch sich Ihre Punktzahl verbessert$1/3$. Es ist doppelt so schwer, diesen Highscore zu erhöhen als zu verringern.

3. Umgekehrt ist es mit einer ähnlichen Analyse einfacher, eine niedrige Punktzahl zu verbessern, indem eine der Antworten zufällig geändert wird.

Allgemeiner - und Sie finden, dass dies ein ansprechenderes Modell ist als eines, das allein auf Glück zu beruhen scheint - sollten Sie jeden Test in Betracht ziehen, bei dem Ihre Punktzahl erwartet wird $100p\%$der Summe basierend auf Ihrem zugrunde liegenden Wissen. Um Ihr erwartetes Testergebnis von zu verbessern$100p$ zu $100(p+x)\%$ - das heißt, eine Zunahme von $100x$ Punkte - Sie müssten Ihre Leistung auf dem behalten $100p\%$ der Antworten, die Sie richtig verstanden haben, als Sie genug gelernt haben, um sie hinzuzufügen $100x$ weist aus dem $100(1-p)$Punkte verloren bei den falschen Antworten. Diese relative Verbesserung Ihres Wissens kann auf zwei Arten ausgedrückt werden:

1. Sie haben den Anteil reduziert $1-p$ von falschen Antworten auf $1-p-x$, eine Änderung von $-x/(1-p)$;; und

2. Sie haben den Anteil erhöht $p$ von richtigen Antworten auf $p+x$, eine Änderung von $+x/p$.

Das Verhältnis von diesen (bis zum Vorzeichen), nämlich

ist die Wahrscheinlichkeit von$p$. In ausgewogener Weise - indem berücksichtigt wird, dass sowohl weniger falsche als auch mehr richtige Antworten erforderlich sind - wird gemessen, wie schwierig es ist, eine geringfügige Erhöhung vorzunehmen$100x$ beginnend mit einer Punktzahl von $100p$. Wie$100p$ wächst in Richtung $100$ Punkte, die schwindende Größe des Nenners $1-p$zeigt, wie es zunehmend schwieriger wird, eine bereits hohe Punktzahl zu verbessern. Grob steigt von$90\%$ zu $95\%$ zu $97\%$sind ebenso schwierig. (Dies sind Quoten von ungefähr$9$, $19$, und $32$, beziehungsweise.)

Beachten Sie auch, dass es weitaus wahrscheinlicher ist, dass Ihre Punktzahl aufgrund kleiner Fehler bei Fragen sinkt, als dass sie steigt, wenn Ihre Punktzahl über 50% liegt. Umgekehrt gilt dies für niedrigere Punktzahlen: Vermutungen und zufällige Fehler kommen dem armen Schüler zugute und verletzte den guten Schüler.

In Bezug auf eine Studienstrategie legt diese Analyse nahe, dass Sie den größten Nutzen aus der Untersuchung der Abschnitte ziehen, in denen Sie am schwächsten sind - vorausgesetzt, dass jede Einheit des Studienaufwands in jedem Abschnitt zu derselben relativen Leistungssteigerung führt.