Die Verteilung für das Kronecker-Produkt zweier einheitlicher Zufallsvektoren in der Einheitskugel?

Angenommen, zwei Zufallsvektoren und sind gleichmäßig auf der Einheitskugel . Kann gezeigt werden, dass das Kronecker-Produkt von und gleichmäßig auf einer Teilmenge der Einheitskugel ?$x$$y$$S_{n-1}$$x$$y$$S_{n-1}\otimes S_{n-1}$

Ja. Dies wird beim Durcharbeiten der Definitionen deutlich.

Das Kronecker-Produkt

Die Einheitskugel ist die Menge der Einheitsvektoren im euklidischen Raum wobei ist die euklidische Norm.$S^{n-1}$$E^n = \left(\mathbb{R}^n, ||\cdot ||\right)$

$$||(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\prime|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$$

Das "Kronecker-Produkt" ist das übliche Tensorprodukt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, darüber nachzudenken und damit zu rechnen. Eine besteht darin, es als Matrix zu definieren$n\times n$

$$x \otimes y = x\, y^\prime = \pmatrix{x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_n \\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_n \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_ny_1 & x_ny_2 & \cdots & x_ny_n} \in \operatorname{Mat}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n\right).$$

Eine andere äquivalente Methode löst die Komponenten dieser Matrix in einen Vektor mit Komponenten, sodass wir als ein Element von . Beachten Sie, dass die euklidische Metrik für geschrieben werden kann$n^2$$x\otimes y$$\mathbb{R}^{n^2}$$\mathbb{R}^{n^2}$

$$||Z||^2 = \operatorname{Tr}( Z Z^\prime ).\tag{1}$$

Beides sind Möglichkeiten, die Summe der Quadrate aller Komponenten zu schreiben .$n^2$

Das Kronecker-Produkt ist in dem Sinne mit den euklidischen Metriken für und kompatibel$E^n$$E^{n^2}$

$$||x \otimes y||^2 = ||x||^2\,||y||^2.$$

Dies ist leicht zu demonstrieren, da die linke Seite als die Summe der Quadrate aller während die rechte Seite das Produkt ihrer Quadratsummen ist. Erweitern Sie einfach dieses Produkt:$x_i y_j$

$$||x \otimes y||^2 = \sum_i\sum_j (x_iy_j)^2 = \left(\sum_i x_i^2\right)\left(\sum_j y_j^2\right) = ||x||^2\,||y||^2.$$

Insbesondere wenn sowohl als auch eine Einheitslänge haben, hat eine Einheitslänge. Deshalb$x$$y$$x \otimes y$

$$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}.$$

Gleichmäßige Verteilung

Die euklidischen Kugeln erben ein Maß von dem üblichen Maß für die euklidischen Räume (das Lebesgue-Maß, das letztendlich durch den euklidischen Abstand bestimmt wird). Dieses Maß wird durch jede Isometrie einer Kugel erhalten, da (per Definition) eine Isometrie Entfernungen beibehält und das Maß letztendlich durch Entfernungen bestimmt wird. Die Gruppe der Isometrien der Einheitskugel in wird mit , der orthogonalen Gruppe. Es ist ein klassisches Ergebnis und einfach zu zeigen, dass es aus den linearen Transformationen besteht, die durch alle Matrizen für die .$\mathbb{R}^m$$O(m)$$m\times m$$P$$PP^\prime = P^\prime P = \mathbb{I}_m$

Die orthogonale Gruppe wirkt transitiv auf . (Hier ist ein Beweis, den Euklid möglicherweise erbracht hat: Wählen Sie zwei unterschiedliche Punkte und auf der Kugel aus. Zeichnen Sie das Liniensegment zwischen sich. Es bestimmt eine eindeutige Hyperebene senkrecht zu die durch den Mittelpunkt von . Die Reflexion in dieser Hyperebene wird abgebildet für sich und behält alle Abstände bei, von wo es in . Diese Reflexion tauscht und und zeigt, dass es eine orthogonale Transformation gibt, die an sendet .)$O(n)$$S^{n-1}$$x$$y$$xy$$xy$$xy$$S^{n-1}$$O(n)$$x$$y$$x$$y$

Zu sagen, dass "Vektoren gleichmäßig auf " bedeutet, dass die Verteilung unter einer transitiven Gruppe von Isometrien wie invariant ist .$S^{n-1}$$O(n)$

Hier ist die Pointe: Der "Hypertorus" genießt eine transitive Gruppe von Isometrien, die isomorph zu einem Quotienten von . In der Tat, wenn ein beliebiges und ein anderes , wählen Sie für das und . Sei eine beliebige Matrix und definiere$S^{n-1}\otimes S^{n-1} \subset S^{n^2-1}$$O(n)\times O(n)$$x\otimes y\in S^{n-1}$$x_2\otimes y_2\in S^{n-1}$$P,Q\in O(n)$$Px=x_2$$Qy=y_2$$Z=(z_{ij})$$n\times n$

$$(P\otimes Q)(Z) = PZQ^\prime.\tag{2}$$

Dies ist eine Isometrie weil, unter Verwendung der Formel ,$(1)$

$$\eqalign{ ||(P \otimes Q) (Z)||^2 &= \operatorname{Tr}\left((PZQ^\prime)(PZQ^\prime)^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PZ Z^\prime P^\prime\right) = \operatorname{Tr}\left(PP^\prime Z Z^\prime \right) = \operatorname{Tr}\left(ZZ^\prime \right) \\ &= ||Z||^2.}$$

Diese Schritte nutzten die Orthogonalität von und und die Tatsache, dass für alle quadratischen Matrizen und .$P$$Q$$\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$$A$$B$

Da die Isometrien von über eine transitive Gruppe von Isometrien von induzieren , ist die gleichmäßige (dh gruppeninvariante) Verteilung on wird auf eine gleichmäßige Verteilung auf abgebildet , QED .$S^{n-1}$$S^{n-1}\otimes S^{n-1}$$(2)$$S^{n-1}$$S^{n-1}\otimes S^{n-1}$

Solange und unabhängig sind, ist das, was Sie sagen, wahr.$x$$y$

Es ist am einfachsten, über Winkel und nicht über Punkte im Raum nachzudenken.

Beispielsweise in der 2-D - Bereich in , wir Punkte gleichmäßig auf der Oberfläche dieser Kugel durch Abtasten erzeugen können und unabhängig von sowie unter jenen wie Zenith und Azimut jeweils.$\mathbb R^3$$\theta_1$$\theta_2$$U[0,2\pi]$

Wir können uns also als und als . Ihr KP ist dann und aus der Konstruktion geht hervor, dass eine gleichmäßige Verteilung folgt ebenfalls.$x$$(\theta_1,...,\theta_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$$y$$(\phi_1,...,\phi_{n-1}) \sim U[0,2\pi]^{n-1}$$(\theta_1,...,\theta_{n-1},\phi_1,...,\phi_{n-1})$$U[0,2\pi]^{2n-2}$