Mittelwert der inversen Exponentialverteilung

Was ist bei einer Zufallsvariablen der Mittelwert und die Varianz von ?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Ich betrachte die inverse Gammaverteilung, aber der Mittelwert und die Varianz sind nur für bzw. ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Angesichts der Tatsache, dass die inverse Exponentialverteilung , sind Sie auf die Tatsache gestoßen, dass der Mittelwert der inversen Exponentialverteilung . Und deshalb ist die Varianz des inversen Exponentials undefiniert.$\alpha = 1$$\infty$

Wenn invers exponentiell verteilt ist, existiert und ist endlich für und für .E ( G r ) r < 1 = ∞ r = $G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Ich zeige die Berechnung für den Mittelwert einer Exponentialverteilung, damit Sie sich an den Ansatz erinnern können. Dann werde ich mit dem gleichen Ansatz das inverse Exponential wählen.

Gegeben ist$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Teilweise Integration (ignorieren Sie das vor dem Integral für den Moment),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Multiplizieren Sie mit dem vor dem Integral.$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Für und ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Welches ist ein bekanntes Ergebnis.

Für gilt dieselbe Logik.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

Der Hauptunterschied besteht darin, dass für eine Integration nach Teilen

$u = y^{-1}$

und

$du = -1y^{-2}$

es hilft uns also nicht für . Ich denke, das Integral ist hier undefiniert. Wolfram Alpha sagt mir, dass es nicht konvergiert.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Der Mittelwert existiert also nicht für das inverse Exponential oder äquivalent für das inverse Gamma mit . Der Grund ist ähnlich für die Varianz und .$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Nach einer kurzen Simulation (in R) scheint der Mittelwert nicht zu existieren:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Zum Vergleich ist hier, was mit einer echten exponentiellen Zufallsvariablen passiert.