Erwartete Wurzel des quadratischen Zufallspolynoms

Angenommen, sind iid Zufallsvariablen mit gleichmäßiger Verteilung auf . Ich interessiere mich für die erwarteten Wurzeln des Polynoms , die komplexe Zufallsvariablen sind, die durch und $A,B,C$ $[-1,1]$ $Ax^2 + Bx + C$

Z_{1} = \frac{- B + \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A}

$Z_1 = \frac{-B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

Z_{2} = \frac{- B - \sqrt{B^{2} - 4 A C}}{2 A} .

$Z_2 = \frac{-B-\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.$

Bei Simulationen berechnete ich und

E [Z_{1}] \approx 0.3559 + 0.0005 i

$E[Z_1] \approx 0.3559 + 0.0005i$

E [Z_{2}] \approx - 0.6421 - 0.0005 i .

$E[Z_2] \approx -0.6421 - 0.0005i.$

Um dies zu bestätigen, muss ich diese Werte mathematisch berechnen. Für bedeutet dies beispielsweise, das Integral zu berechnen $E[Z_1]$

\frac{1}{8} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} d a d b d c .

$\frac{1}{8}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ da\ db\ dc.$

Leider sieht es so aus, als hätte dieses Integral unterschiedliche Werte, wenn wir die Reihenfolge der Integration ändern. Ich habe versucht, mit Wolframalpha zu rechnen. Es gibt mir Null oder kann je nach Reihenfolge nicht berechnen. Wahrscheinlich liegt dies daran, dass der Begriff im Integrationsintervall unendlich wird, sodass wir den Satz von Fubini nicht verwenden können. Ich bin mir nicht sicher, ob Wolframalpha gerade einige Integrale nicht berechnet hat oder ob wirklich nicht definiert ist. Dieses zweite Szenario bedeutet, dass keinen erwarteten Wert hat, sodass das zufällige Polynom keine erwartete Wurzel hat. Ich denke, dies ist ein seltsames Szenario, daher muss ich wirklich bestätigen, ob dies der Fall ist oder nicht. $\frac{1}{2a}$ $E[Z_1]$ $Z_1$ $Ax^2 + Bx + C$

uniform polynomial

— Integral
quelle

Wenn (mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0,6272) ist, ist der Imaginärteil 0, andernfalls ist er ungleich Null, und wenn er ungleich Null ist, beträgt die durchschnittliche Größe des Imaginärteils entsprechend ungefähr das 2,68-fache groß, wie Sie es durch Mittelung über beide Fallgruppen erhalten würden. Sind Sie sicher, dass Sie beabsichtigen, über beide Fälle zu mitteln? Die Werte von liegen im Bereich von -4 bis 5, und die Verteilung ist nicht symmetrisch. Eigentlich sieht es so aus wie Gandalfs Hut

Δ = B^{2} - 4 A C \geq 0

$\Delta=B^2-4AC\geq 0$

Δ

$\Delta$

— Glen_b

Ihre und sind nicht genau definiert, bis Sie eine Auswahl der komplexen Wurzel getroffen haben. Diese Wahl wirkt sich auf ihre Verteilungen aus.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Sie werden nicht ausdrücklich angegeben. Jede Zahl hat zwei komplexe Quadratwurzeln. Sie müssen auswählen, welches für und welches für .

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Es gibt keinen eindeutigen Wert von beispielsweise . Es ist einer von zwei komplexen Werten. Da keines von beiden real ist, macht es keinen Sinn, das eine "positiv" oder das andere "negativ" zu nennen: Sie müssen entscheiden, welches und welches zugewiesen werden soll . Ihre Software musste eine Wahl für Sie treffen - aber das bedeutet nicht, dass dies die einzige Wahl ist. Siehe zum Beispiel en.wikipedia.org/wiki/Branch_point .

\sqrt{i}

$\sqrt{i}$

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Die Unterscheidung zwischen und , die sich danach unterscheiden, welches Vorzeichen der Quadratwurzel vorausgeht, ist explizit eine Unterscheidung zwischen positiv und negativ. Ihre Beobachtung zeigt jedoch, dass es letztendlich nicht darauf ankommt. Allerdings sind die spezifischen Ergebnisse einer Simulation zu tun , hängt von einigen solchen Konvention.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

— whuber

Ihre und sind nicht genau definiert, bis Sie eine Auswahl der komplexen Wurzel getroffen haben. Diese Wahl könnte sich auf ihre Verteilung auswirken. (Aufgrund der Symmetrien von , und um tatsächlich nicht der Fall .) $Z_1$ $Z_2$ $A$ $B$ $C$ $0$

Unabhängig davon, da ist wohldefiniert an , dass Sie eine solche Wahl getroffen haben und dass die haben endlich den Erwartungen. Aus der Unabhängigkeit von und und der Tatsache, dass sich die Dichte von nahe nicht Null nähert , folgt , dass ich gehört habe, dass Verhältnisse oder Umkehrungen von Zufallsvariablen oft problematisch sind, wenn sie keine Erwartungen haben. Warum ist das so? dass keine Erwartung hat. Da jedoch ist, entsteht ein Widerspruch, der zeigt, dass mindestens einer von und keine Erwartung haben kann. $Z_1+Z_2=-B/A$ $Z_i$ $A$ $B$ $A$ $A=0$ $-B/A$ $E[-B/A]=E[Z_1+Z_2]$ $Z_1$ $Z_2$

Sie können auch aus der Symmetrie dieses Problems argumentieren, dass die Erwartung von , falls vorhanden, Null sein muss. (Die Verteilung von und die Verteilung von sind gleich, aber die entsprechenden Verteilungen von sind jeweils negativ andere. Ergo müssen ihre Erwartungen auch negativ sein.) Daher ist die Erwartung jedes nur . Dies hat einen einfacheren Ausdruck als Integral: $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $(A,B,C)$ $(-A,B,-C)$ $\sqrt{B^2-4AC}/(2A)$ $Z_i$ $E[-B/(2A)]$

E [- B / 2 A] = \frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} - \frac{b}{2 a} d a d b

$E[-B/2A] = \frac{1}{4}\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 -\frac{b}{2a} da db$

Wir könnten versuchen, es als iteriertes Integral zu bewerten (gemäß Fubinis Theorem). Das innere Integral (in Bezug auf ) divergiert jedoch bei : $a$ $0$

lim_{t \to 0^{+}} \int_{t}^{1} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{+}} \log (t) \to - \infty

$\lim_{t\to 0^{+}} \int_t^1 \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{+}}\log(t) \to -\infty$

während

lim_{t \to 0^{-}} \int_{- 1}^{t} \frac{- d a}{a} = lim_{t \to 0^{-}} (- \log (- t)) \to \infty,

$\lim_{t\to 0^{-}} \int_{-1}^t \frac{-da}{a} = \lim_{t\to 0^{-}}(-\log(-t)) \to \infty,$

es zu demonstrieren ist undefiniert. Deshalb ist es ungültig, die Integrationsreihenfolge zu ändern - Fubinis Theorem gilt nicht -, um für das Integral über und damit den (falschen) Wert für die Erwartung zu erhalten. $0$ $b$ $0$

In beiden Analysen ist die Ursache der Schwierigkeit klar: hat eine nicht zu vernachlässigende Dichte in jeder Nachbarschaft von Null. $A$

— whuber
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