Wann entspricht die LSQ-Linie (Least Square Regression) der LAD-Linie (Least Absolute Deviation)?

Ich habe die folgende Frage zur Hand.

Angenommen, repräsentieren eine Reihe von bi-variablen Beobachtungen auf so dassUnter welchen Bedingungen ist die Regressionslinie für das kleinste Quadrat von auf identisch mit der Linie für die geringste absolute Abweichung?$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_{10},y_{10})$$(X,Y)$$x_2=x_3=\cdots =x_{10}\ne x_1.$$Y$$X$

Ich weiß, dass wir und so finden wollen, dass ; Die LSQ-Methode ergibt und damit . Kann mir jemand helfen, weiterzumachen?$\hat{\alpha}$$\hat\beta$$Y=\hat\alpha+\hat\beta X$

Einige Tipps, die Ihnen helfen sollen, einen Einblick zu gewinnen

1. Erstellen oder generieren Sie einige Daten, die den Bedingungen in der Frage entsprechen. Versuchen$x_1=0, y_1=0$ und $x_2..x_{10}=1$ (Auswahl einiger Werte für $y_i$, $i=2,...,10$). Wo verlaufen die Linien relativ zum ersten Punkt?

2. Beginnen Sie nun wie oben, aber versuchen Sie es mit der Platzierung $y_i$, $i=2,...,10$bei sagen 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Wohin gehen die Linien?

   

3. Jetzt platzieren $y_i$, $i=2,...,10$bei sagen 1,2,3,4,5,6,7,8,99. Wohin gehen die Linien?

   

   Was ist besonders / interessant an den angepassten Werten für die beiden Zeilen bei $x=1$?

   (Wenn es nicht klar ist, versuchen Sie es mit anderen Werten für $y_{10}$.)

   

4. Können Sie beweisen, dass dies allgemeiner der Fall ist?

Dies bringt uns letztendlich zu einer sichtbaren Frage, die sich darauf bezieht, wann Mittel und Mediane im univariaten Fall gleich sind. (Es gibt eine einfache, offensichtliche Bedingung, die ausreicht, aber nicht notwendig ist.)

Es gibt eine Reihe von Beiträgen vor Ort, die den anderen Fall diskutieren. Es gibt einige interessante Beispiele hier