Wie man Zellen einer 2x2-Tabelle in Bezug auf Phi-Koeffizienten und Grenzwahrscheinlichkeiten ausdrückt

Betrachten Sie eine typische 2x2-Frequenztabelle (in diesem Bild gezeigt): Notation: Die Zeilenvariable wird mit R bezeichnet und nimmt die Werte 0 oder 1 an; Die Spaltenvariable wird mit C bezeichnet und nimmt die Werte 0 oder 1 an. Die Zellen der Tabelle geben die Häufigkeit jeder Kombination von R und C an. Zum Beispiel ist die Frequenz von R = 0 und C = 1. Für die Zwecke meiner Frage wird angenommen, dass die Zellzahlen durch die Summe geteilt werden, so dass die Zellwerte die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten der Zellen sind .

$b$

Ich möchte die Zellwahrscheinlichkeiten in Form des Phi-Koeffizienten (der ein Maß für die Korrelation mit der unten angegebenen Formel ist) und der Grenzwahrscheinlichkeiten ausdrücken : $\mu_R\equiv p(R\!=\!1) = c+d$ und $\mu_C\equiv p(C\!=\!1) = b+d$ . Das heißt, ich möchte das folgende System von vier Gleichungen invertieren:

\begin{aligned} (by defn) & ϕ & \equiv (a d - b c) / \sqrt{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \\ (by defn) & μ_{R} & = c + d \\ (by defn) & μ_{C} & = b + d \\ (constraint) & 1 & = a + b + c + d \end{aligned}

$\begin{align} \phi &\equiv (ad-bc)/\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \tag{by defn}\\ \mu_{R} &= c+d \tag{by defn}\\ \mu_{C} &= b+d \tag{by defn}\\ 1 &= a+b+c+d \tag{constraint} \end{align}$ und natürlich

0 \leq a, b, c, d \leq 1

$0 \le a,b,c,d \le 1$ . Mit anderen Worten,ich möchte nach $a$ , $b$ , $c$ und $d$ in Form von $\phi$ , $\mu_{R}$ und $\mu_{C}$ .

Dieses Problem wurde wahrscheinlich schon von jemandem gelöst, aber meine Suche hat keine Quelle ergeben, und meine schwachen Algebraversuche haben keine Antwort geliefert, und ich kann keine Online-Wechselrichter mit (nichtlinearen) Gleichungen finden, die diesen Fall behandeln .

contingency-tables simultaneous-equation

— John K. Kruschke
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$\phi$ $a+b=1-\mu_R$ $a+c=1-\mu_C$

Δ = a d - b c = ϕ \sqrt{μ_{R} (1 - μ_{R}) μ_{C} (1 - μ_{C})} .

$\Delta=ad - bc = \phi \sqrt{\mu_R(1-\mu_R)\mu_C(1-\mu_C)}.$

$d$

\begin{aligned} d & = (1) d = (a + b + c + d) d = a d + b d + c d + d^{2} \\ = a d + (- b c + b c) + b d + c d + d^{2} \\ = (a d - b c) + (c + d) (b + d) \\ = Δ + μ_{R} μ_{C} . \end{aligned}

$\eqalign{d &= (1)d = (a+b+c+d)d = ad +bd +cd + d^2 \\ &= ad + (-bc + bc) + bd + cd + d^2 \\ &= (ad - bc) + (c+d)(b+d) \\&= \Delta + \mu_R\mu_C.}$

$a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\mu_C$ $1-\mu_C$ $\Delta$

c = - Δ + μ_{R} (1 - μ_{C}) .

$c = -\Delta + \mu_R(1-\mu_C).$

$a$ $c$ $b$ $d$ $\mu_R$ $1-\mu_R$ $\Delta$

b = - Δ + (1 - μ_{R}) μ_{C} .

$b = -\Delta + (1-\mu_R)\mu_C.$

Das Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt

a = Δ + (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C}) .

$a = \Delta + (1-\mu_R)(1-\mu_C).$

$a,b,c,d$ $a+b+c+d=1, c+d=\mu_R,$ $b+d=\mu_C$ $ad-bc=\Delta$

— whuber
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Ein Hinweis für andere, die diese (richtige!) Antwort verwenden könnten: Sie kann negative Werte von a, b, c oder d ergeben. Mit anderen Worten, nicht alle Kombinationen von Phi in [-1,1], mu_R in [0,1] und mu_C in [0,1] können durch Wahrscheinlichkeitsmatrizen erzeugt werden. An whuber: Danke!

— John K. Kruschke

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

ϕ

$\phi$

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

[0, 1]

$[0,1]$

Δ

$\Delta$

[- min (μ_{R} μ_{C}, (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C})), min (μ_{R} (1 - μ_{C}), (1 - μ_{R}) μ_{C})] .

$[-\min(\mu_R\mu_C, (1-\mu_R)(1-\mu_C)), \ \min(\mu_R(1-\mu_C), (1-\mu_R)\mu_C)].$