Intuition hinter der Potenzgesetzverteilung

Ich weiß, dass das PDF einer Potenzgesetzverteilung

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

Was aber bedeutet es intuitiv, wenn beispielsweise Aktienkurse einer Potenzgesetzverteilung folgen? Bedeutet dies, dass die Verluste sehr hoch, aber selten sein können?

Dies ist eine schwerwiegende Verteilung, da die cdf

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ Die Wahrscheinlichkeit,(x/xmin)1-αzu überschreiten$x$,kann alsodurch die richtige Wahl vonαbeliebig nahe an1gebracht werden. Wenn man beispielsweise möchte, dass die Wahrscheinlichkeit, dass10uxminüberschrittenwerden, mindestens0,9 beträgt, sollte manαso auswählen, dass es höchstens 1-log10(0,9)/u einer unten dargestellten Kurve entspricht, wobei die erste Achse mit skaliert wird$(x/x_\min)^{1-\alpha}$$1$$\alpha$$10^u x_\min$$0.9$$\alpha$ $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ , nicht um 10 u x min ... $u$$10^u x_\min$

Es ist keine von Fachleuten geprüfte Quelle, aber ich mag diese Notiz von CMU- Statistikprofessor Cosma Shalizi . Er ist auch ein Autor dieses Artikels über das Abschätzen solcher Dinge aus Daten.

Der Artikel Potenzgesetze in Wirtschaft und Finanzen kann dazu beitragen, sich ein Bild über Potenzgesetze zu machen. Xavier Gabaix gibt an, dass das Potenzgesetz (Power Law, PL) die Form einer Vielzahl überraschender empirischer Gesetzmäßigkeiten in Wirtschaft und Finanzen hat. In seiner Rezension untersucht er gut dokumentierte empirische PLs zu Einkommen und Vermögen, der Größe von Städten und Unternehmen, den Börsenrenditen, dem Handelsvolumen, dem internationalen Handel und der Bezahlung von Führungskräften.

Intuition für die Pareto-Distribution

Pareto (Wikipedia) beschrieb ursprünglich die Verteilung des Wohlstands auf Einzelpersonen: Ein großer Teil des Wohlstands einer Gesellschaft befindet sich im Besitz eines kleinen Prozentsatzes der Menschen. Seine Idee, einfacher ausgedrückt als das Pareto-Prinzip oder die "80-20-Regel", besagt, dass 20% der Bevölkerung 80% des Vermögens kontrolliert.

Das rechte Ende der Einkommens- und Vermögensverteilung ähnelt oft Pareto

Wenn die Einkommensverteilung Pareto ist, kann man einfache Ausdrücke für den Anteil von Top 1% oder Top 10% ableiten. Dann kann der Anteil des höchsten Q-Perzentils am Gesamteinkommen wie folgt abgeleitet werden:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

$\alpha \geq 1$$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$

$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Wir können aus dieser Gefahrencharakterisierung , dass $\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$$\ln \delta$$x$$x, x' > x_\min$$\ln \delta$

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

$^\dagger$

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