Ist die Summe zweier Variablen unabhängig von einer dritten Variablen, wenn sie für sich genommen so sind?

9

Angesichts 3 Zufallsvariablen , und . und sind unabhängig. und sind unabhängig. Intuitiv würde ich annehmen, dass und unabhängig sind. Ist dies der Fall und wie kann ich es formal beweisen? $X_1$ $X_2$ $Y$ $Y$ $X_1$ $Y$ $X_2$ $Y$ $X_1+X_2$

independence

— matthiash
quelle

2

Es ist möglich, X1, X2, Y so zu konstruieren, dass die obigen Bedingungen erfüllt sind, aber Y ist eine Funktion von Z = (X1, X2): math.stackexchange.com/questions/1712177/… Widerspricht der Antwortaussage: 'Y. ist unabhängig von Z '

— user233740

6

BEARBEITEN: Wie von anderen Benutzern hervorgehoben, ist diese Antwort nicht korrekt, da davon ausgegangen wird, dass $Y$ unabhängig von $(X_1,X_2)$

Beachten Sie, dass $X_1 + X_2$ eine Funktion von $Z = (X_1,X_2)$ denn wenn Sie

f (x, y) = x + y

$f(x,y) = x+y$ Sie

X_{1} + X_{2} = f (Z)

$X_1 + X_2 = f(Z)$ .

Es ist ein bekannter Satz der Wahrscheinlichkeit, dass wenn $R_1$ und $R_2$ unabhängige Zufallsvariablen sind und $f_1$ und $f_2$ messbare Funktionen sind, $f_1(R_1)$ unabhängig von $f_2(R_2)$ (Satz 10.4 von "Wahrscheinlichkeit" : A Graduate Course "2. Aufl. Von Allan Gut).

Da $f$ messbar und Y unabhängig von $Z$ , wissen wir, dass $Y$ auch unabhängig von $f(Z) = X_1 + X_2$ . Beachten Sie, dass wir $f_1$ als Identitätsfunktion genommen haben und $f_2 = f$ .

— Mur1lo
quelle

3

Diese Antwort nimmt an, dass

unabhängig von

aber die Frage nimmt nur an, dass

unabhängig von jedem der

Y

$Y$

(X_{1}, X_{2})

$(X_1,X_2)$

Y

$Y$

X_{i} .

$X_i.$

— whuber

3

(Um diesen Thread zu vervollständigen, erhebe ich einen Kommentar von user233740 zu einer Antwort.)

Die Aussage ist nicht wahr.

Die Möglichkeit, dass $X_1+X_2$ nicht unabhängig von $Y$ ist, erinnert stark an das bekannte Lehrbuchproblem bezüglich trivariater Zufallsvariablen $(X_1,X_2,Y)$ , die paarweise unabhängig, aber nicht unabhängig sind. In diesem Sinne betrachten wir das einfachste Beispiel, nämlich die gleichmäßige zufällige Auswahl einer der Zeilen dieser Matrix:

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

$\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&1\\0&1&1}.$

Sie können sehen , dass zwei Spalten bestimmen unabhängige Bernoulli $(1/2)$ Variablen, aber die drei sind nicht unabhängig , weil der dritte von den beiden anderen bestimmt werden kann.

Wählen wir dann zwei dieser Spalten aus, die als $X_1$ und $X_2,$ und lassen Sie $Y$ die dritte sein. Beachten Sie, dass , wenn $Y=0,$ $X_1+X_2$ ist entweder $0$ oder $2$ (mit gleicher Wahrscheinlichkeit), aber , wenn $Y=1,$ $X_1+X_2=1.$ Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion

Pr ({X.}_{1} + {X.}_{2} ∣ Y.)

$\Pr(X_1+X_2\mid Y)$ ist nicht konstant, was zeigt, dass

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$ und

Y

$Y$ nicht unabhängig sind.

— whuber
quelle