Ist der Probenkorrelationskoeffizient ein unverzerrter Schätzer des Populationskorrelationskoeffizienten?

Stimmt es, dass ein unvoreingenommener Schätzer für ? Das heißt, $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

Wenn nicht, was ist ein unvoreingenommener Schätzer für ? (Vielleicht gibt es einen standardmäßigen unverzerrten Schätzer, der verwendet wird. Ist er auch analog zur unverzerrten Stichprobenvarianz, bei der wir einfach die Anpassung vornehmen, indem wir die verzerrte Stichprobenvarianz mit multiplizieren ?) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

Der Populationskorrelationskoeffizient ist definiert als während der Probenkorrelationskoeffizient definiert ist als

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— Kenny LJ
quelle

Eine (etwas ähnliche) Frage zu Schätzern von .

ρ

$\rho$

— TTNPHNS

Die Frage "Was ist der unvoreingenommene Schätzer?" Setzt voraus, dass es einen gibt und dass es nur einen gibt. A priori scheint es keinen Grund zu geben, das zu glauben.

$\qquad$

— Michael Hardy

@MichaelHardy: Ich habe das korrigiert. Danke für den Hinweis.

— Kenny LJ

Nur zufällig auf diesen Thread, und ich denke , das könnte interessant sein , lesen sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (ich habe es noch nicht gelesen , mich TBH)

— martn

Schätzer der unverzerrten Minimalvarianz: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

Dies ist keine einfache Frage, es sind jedoch einige Ausdrücke verfügbar. Wenn Sie insbesondere über die Normalverteilung sprechen, lautet die Antwort NEIN ! Wir haben

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

wie in Kapitel 2 von Lehmanns Theorie der Punktschätzung zu sehen. Es gibt unendlich viele Ausdrücke im obigen Ausdruck, aber wir betrachten Ausdrücke gleicher oder niedrigerer Ordnung als im wesentlichen als vernachlässigbar. $n^{-2}$

Diese Formel zeigt, dass der Probenkorrelationskoeffizient nur für , dh Unabhängigkeit, unverzerrt ist , wie man es erwarten würde. Dies gilt auch für die entarteten Fälle mit , aber das ist nicht sehr interessant. In der Regel liegt der Bias in der Größenordnung von jedoch für alle angemessenen Stichprobengrößen recht klein. $\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

Bei Normalverteilungen ist der Probenkorrelationskoeffizient der mle, was bedeutet, dass er asymptotisch unverzerrt ist. Sie können dies auch anhand der obigen Formel als . Es ist zu beachten, dass dies bereits aus der Begrenztheit und der Konsistenz des Probenkorrelationskoeffizienten durch den Satz der begrenzten Konvergenz folgt. $\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— JohnK
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Es mag unendlich viele Ausdrücke im obigen Ausdruck geben, aber "unendliche Ausdrücke" würden es einige Ausdrücke geben, von denen jeder unendlich ist.

$\qquad$

— Michael Hardy

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

| 1 |

$|1|$

Weiß jemand bei einer verwandten Frage, ob für andere Verteilungen als die 2D-Normale analoge Ergebnisse vorliegen?

— Riemann1337