Hypothesentest mit einer ungewöhnlichen alternativen Hypothese ( )

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Normalerweise bin ich mit der Durchführung von Hypothesentests sehr vertraut, aber ich habe noch nie eine alternative Hypothese gesehen, bei der einem bestimmten Wert entspricht. Wie würde man in dieser Situation vorgehen? Dies ist ein Beispiel, auf das ich gestoßen bin: $\mu$

"Unter der Annahme einer Normalität mit der Varianz $σ^2 = 9$ testen Sie die Nullhypothese $\mu = 60.0$ gegen die Alternativhypothese $\mu = 57.0$ Verwendung einer Stichprobengröße von $20$ mit $\bar x = 58.05$ und wählen Sie $\alpha = 0.05$ ."

hypothesis-testing self-study

— Joe
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(Erklärt meine Bearbeitung) ... Es wäre ungewöhnlich, den hypothetischen Wert unter der Alternative

μ_{0}

$\mu_0$ aufzurufen (Sie würden den Wert unter

H_{0}

$H_0$ "

μ_{0}

$\mu_0$ " nennen - dh

60

$60$ ist das, was Sie als

μ_{0}

$\mu_0$ ). Unter

H_{1}

$H_1$ Sie es

μ_{1}

$\mu_1$ (dh

57

$57$ würde als

μ_{1}

$\mu_1$ ). Andernfalls muss man nur darum bitten, missverstanden zu werden.

— Glen_b -Reinstate Monica

Dieser Fall ist aus theoretischer Sicht wichtig, da es möglich ist, einen optimalen (in gewissem Sinne) Test zu erstellen. Schauen Sie sich das Neyman-Pearson-Lemma an: en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

— Zen

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Es ist Standard, Punkt Null gegen Punkt Alternative zu betrachten, wenn Sie das Neyman Pearson Lemma zum ersten Mal einführen. Wenn Sie also gesehen haben, dass Sie diesen einfachen Alternativfall wahrscheinlich bereits gesehen haben.

Im Fall einfach-null-einfach-alternativ unterscheidet sich sehr wenig vom Fall einfach-null. Sie befinden sich nur in einer Situation, in der diese (60 und 57) die einzigen zwei möglichen Werte für . $\mu$

Offensichtlich ungewöhnlich kleine Werte von würden dazu führen, dass Sie als unhaltbar betrachten, aber große Werte (größer als 60) würden nicht zu dem Schluss führen, dass der Mittelwert statt , sodass Sie nur auf einer Seite ablehnen. $\bar{X}$ $H_0$ $57$ $60$

Sie müssen also nur noch eine Teststatistik angeben, deren Verteilung unter der Nullhypothese berechnet werden kann, um einen Ablehnungsbereich für diese Statistik zu bestimmen, der kleinen Werten entspricht, die von . $\bar{X}$

Sie kennen bereits eine Teststatistik, die unter eine bekannte Verteilung aufweist (... und wenn Sie das Neyman-Pearson-Lemma verwenden, können Sie argumentieren, dass dies unter diesen Umständen der leistungsstärkste Test ist). $H_0$

— Glen_b -State Monica
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Interessant! Ich gehe also davon aus, dass dies kein Test ist, den Sie jemals in der realen Welt durchführen würden?

— Joe

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Je? Nein, solche Situationen können gelegentlich auftreten, sind aber relativ selten.

— Glen_b -State Monica

Komischerweise war das in meinen Statistik-Tests ziemlich häufig.

— Firebug

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Ich bin nicht so statistisch versiert wie einige Leute hier. Bitte nehmen Sie Kontakt mit mir auf. aber ich würde gerne meine zwei Cent wert einwerfen. Wenn ich das von Ihnen zitierte Beispielproblem verstehe, wird grundsätzlich gefragt, ob ein Stichprobenmittelwert von 57 wahrscheinlicher ist oder einen niedrigeren (statistisch signifikanteren) p-Wert aufweist als ein Stichprobenmittelwert von 60, wenn der wahre Mittelwert 58,05 beträgt. Ihr H0 ist also mu = 60 und H1 ist mu = 57. Oder "ist 57 wirklich niedriger als 60, wenn man die Stichprobengröße (20), den wahren Mittelwert (58,05) und das angegebene Alpha-Niveau (0,05) berücksichtigt?" und auf welcher p-Ebene. Also (wieder so wie ich es verstehe) würden Sie die Hypothese auf die übliche Weise testen und einen einseitigen p-Wert verwenden, um zu testen, ob 57 oder wenigerunterscheidet sich signifikant von 60 angesichts der obigen Parameter. (Meine Intuition sagt mir, dass es sich nicht von 60 unterscheidet, da 60 weiter vom Mittelwert von 58,05 entfernt ist als 57 und die Verteilung normal, dh symmetrisch ist und beide innerhalb einer Standardabweichung (3) vom Mittelwert liegen).

Ihre eigentliche Frage scheint jedoch zu sein, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass Ihr H1 mu genau 57 beträgt . Ist das korrekt? Um dies zu beantworten, ist möglicherweise ein anderer Ansatz erforderlich, möglicherweise eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

— Jeremy
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