Welches Krankenhaus soll gewählt werden? Einer hat eine höhere Erfolgsquote, der andere eine höhere Gesamterfolgsquote

Ich habe eine Frage zu etwas, was mein Statistiklehrer zu folgendem Problem gesagt hat. Meine Frage bezieht sich nicht einmal auf das Auftreten von Simpsons Paradoxon in dieser Situation. Bei meiner Frage geht es einfach darum, dass mein Professor darauf besteht, dass A) und D) die richtigen Antworten anstelle von A) und F) sind. Er sagte:

"Da die Erfolgsquote bei Operationen vom Typ E so niedrig ist, können wir daraus schließen, dass sie schwierig und nicht nur ungewöhnlich sind. Daher hat Mercy im Vergleich zu Hope wahrscheinlich bessere Geräte / Ärzte."

Ich verstehe nicht, wie er statistisch schließen konnte, dass Mercy "schwierigere Operationen" durchführt. Mercy hat offensichtlich eine bessere Erfolgsquote bei Operationen des Typs E, aber warum bedeutet dies, dass sie "schwierigere Operationen" durchführen? Ich glaube, ich werde von der Formulierung dieses Problems durcheinander gebracht und der Professor rührt sich nicht. Kann jemand bitte erklären, warum ich falsch liege oder wie ich dies dem Professor erklären kann?

In Ihrer Stadt gibt es zwei Krankenhäuser mit dem Namen Mercy and Hope. Sie müssen eine davon auswählen, bei der eine Operation durchgeführt werden soll. Sie entscheiden sich, Ihre Entscheidung auf den Erfolg ihrer Operationsteams zu stützen. Glücklicherweise geben die Krankenhäuser im Rahmen des neuen Gesundheitsplans Daten über den Erfolg ihrer Operationen an, die in fünf große Operationskategorien unterteilt sind. Angenommen, Sie erhalten die folgenden Daten für die beiden Krankenhäuser:

Mercy Hospital

Type         A    B      C    D      E    All
Operations  359  1836   299   2086  149  4729
Successful  292  1449   179   434   13   2366

Hope Hospital 

Type          A   B  C   D   E   All
Operations   88 514 222 86  45   955
Successful   70 391 113 12  2    588

Sie stellen fest, dass Mercy bei allen Arten von Operationen eine höhere Erfolgsquote aufweist als Hope, und dass Hope die höchste Gesamterfolgsquote aufweist. Welches Krankenhaus würden Sie wählen und warum (wählen Sie zwei Antworten)?

A) Gnade; Da ich mich einer bestimmten Operation unterziehen würde, möchte ich das Krankenhaus mit der besten Erfolgsquote für diese Operation.

B) Hoffnung; Da sie in allen Kategorien weniger Operationen ausführen, sind sie nicht so "operation-happy" wie Mercy.

C) Hoffnung; Dies ist ein Beispiel für Simpsons Paradoxon, und wir sollten immer die "offensichtliche" Schlussfolgerung ziehen.

D) Gnade; In Spalte E macht Mercy eindeutig schwierigere Operationen und ist daher wahrscheinlich ein besseres Krankenhaus.

E) Hoffnung; es hat die bessere Gesamterfolgsrate.

F) Gnade; Dies ist ein Beispiel für Simpsons Paradoxon, und wir sollten immer das Gegenteil der "offensichtlichen" Schlussfolgerung wählen.

Ich denke, A und E sind keine gute Kombination, weil A sagt, Sie sollten Mercy wählen und E sagt, Sie sollten Hope wählen.

A und D haben die Tugend, die gleiche Wahl zu vertreten. Aber lassen Sie uns die Argumentation in D genauer untersuchen, da dies die Verwirrung zu sein scheint. Die Erfolgswahrscheinlichkeit für die Operationen entspricht der Reihenfolge in beiden Krankenhäusern, wobei der Typ A am wahrscheinlichsten und der Typ E am unwahrscheinlichsten ist. Wenn wir die Krankenhäuser zusammenbrechen (dh ignorieren), können wir sehen, dass die marginale Erfolgswahrscheinlichkeit für die Operationen ist:

Type     A     B     C     D     E     All  
Prob   .81   .78   .56   .21   .08     .52

Da E mit weitaus geringerer Wahrscheinlichkeit erfolgreich ist, kann man sich vorstellen, dass es schwieriger ist (obwohl es in der realen Welt auch andere Möglichkeiten gibt). Wir können diese Denkrichtung auch auf die anderen vier Typen übertragen. Schauen wir uns nun an, wie viel Prozent der gesamten Operationen in den einzelnen Krankenhäusern von der Art sind:

Type     A     B     C     D     E  
Mercy  .08   .39   .06   .44   .03  
Hope   .09   .54   .23   .09   .05

Was wir hier bemerken, ist, dass Hope dazu neigt, mehr von den einfacheren Operationen AC (und insbesondere B & C) zu machen, und weniger von den schwierigeren Operationen wie D. E ist in beiden Krankenhäusern ziemlich ungewöhnlich, aber für das, was es wert ist, Hope tatsächlich macht einen höheren Prozentsatz. Der Simpsons-Paradoxon-Effekt wird hier jedoch hauptsächlich von BD bestimmt (nicht die Spalte E, wie in Antwort D vorgeschlagen).

Das Simpson-Paradoxon tritt auf, weil die Operationen (im Allgemeinen) unterschiedliche Schwierigkeitsgrade aufweisen und weil sich auch die N unterscheiden. Es sind die unterschiedlichen Basisraten der verschiedenen Arten von Operationen, die dies kontraintuitiv machen. Es wäre leicht zu sehen, was passiert, wenn beide Krankenhäuser bei jeder Art von Operation genau die gleiche Anzahl von Operationen durchführen würden. Wir können das tun, indem wir einfach die Erfolgswahrscheinlichkeiten berechnen und mit 100 multiplizieren. Dies passt sich an die verschiedenen Frequenzen an:

Type     A     B     C     D     E     All  
Mercy   81    79    60    21    09     250  
Hope    80    76    51    14    04     225

Jetzt, da beide Krankenhäuser 100 Operationen (insgesamt 500) durchgeführt haben, liegt die Antwort auf der Hand: Mercy ist das bessere Krankenhaus.

Keine der Antworten ist völlig unbegründet. Sie ALLE setzen jedoch ein erhebliches externes Wissen voraus und können auf der Grundlage der Statistiken nicht als korrekt angesehen werden.

A, B, D und E erfordern alle Annahmen über die Faktoren, die die Patienten veranlassen, ein Krankenhaus einem anderen vorzuziehen. Der Prozess, durch den Ärzte und Patienten zusammengebracht werden, das Ausmaß, in dem die Erfolgsraten auf bestimmte Operationsklassen zurückzuführen sind, im Vergleich zu gemeinsamen Faktoren wie Intensivstation und einem On.

In der realen Welt könnten wir zu Recht viele alternative Faktoren berücksichtigen, wie die vom Krankenhaus offiziell akzeptierten Zahlungsanbieter, die sozioökonomischen und Adipositasraten der Nachbarschaft, ob es sich um ein Lehrkrankenhaus handelt (in diesem Fall sinkt die Erfolgsrate, wenn neue Praktikanten eintreffen, und wir müssen monatlichen Mix berücksichtigen) und so weiter und so fort.

Natürlich können und müssen wir vernünftige Annahmen zu diesen Faktoren treffen, aber ohne sie ausdrücklich anzusprechen oder vom Problem auszuschließen, ist es unmöglich zu sagen, ob eine Antwort "richtig" ist oder nicht.

@gung gab eine sehr gründliche Antwort, aber es gibt noch einen weiteren Grund, warum D die Frage richtig beantwortet: Bessere Krankenhäuser machen mehr von den schwierigen Operationen, weil sie besser sind. Das heißt, wenn eine Person zur Operation E (am schwersten) ins Hope-Krankenhaus kommt, wird sie möglicherweise zu Mercy geschickt, weil sie bei Hope nicht weiß, wie sie das machen soll.

Dies geschieht sogar in der realen Welt, wobei die schwierigsten Fälle an größere oder spezialisiertere Krankenhäuser gesendet werden.