Arithmetik zur Aktualisierung der Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung des Bayes-Theorems

Dies mag eine elementare Frage sein, weshalb ich sie in Stackexchange oder Mathoverflow nicht finden konnte. Ich habe jedoch Probleme mit der Arithmetik, die mit der Aktualisierung der Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung des Bayes-Theorems für ein Problem verbunden ist, an dem ich arbeite.

Hintergrund:

Ich versuche, zukünftige Ereignisse, für die es keine oder nur wenige Präzedenzfälle gibt, mit Wahrscheinlichkeitsprognosen zu versehen. Im Gegensatz zu den meisten Literaturstellen und Texten zu Bayes, in denen zuvor bekannte Verteilungen verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten für zukünftige Ereignisse innerhalb ähnlicher Parameter anzugeben, basiert meine Situation auf Expertenmeinungen, auf die nur wenige oder keine vernünftigen Verteilungen Bezug nehmen.

Beispiel:

GM kündigte an, ein neues Auto zu entwickeln, sagte aber nicht, wann es veröffentlicht werden würde. Der Produktionsleiter von KIA muss wissen, wann er bereit ist, es freizugeben, damit er sein neues Auto ungefähr zur gleichen Zeit freigeben kann.

KIA weiß, dass das neue Auto die folgenden Komponenten benötigt, um für die Freigabe bereit zu sein: (1) Motor, (2) Getriebe, (3) Karosserie, (4) Räder und Federung. Die erfahrenen Ingenieure von KIA geben an, dass sie für ein neues Projekt wie dieses zu 90% davon überzeugt sind, dass es in zwei Jahren abgeschlossen werden kann. KIA fand auch heraus, dass GM einen Test mit dem neuen Getriebe in einem anderen SUV durchführte und es mit einer Erfolgsquote von 95% wie geplant funktionierte. Dieselben Ingenieure gaben an, dass bei diesem Getriebetest ein Auto in 70% der Fälle innerhalb dieses Zeitraums fertiggestellt werden kann.

So wie ich es habe, kann KIA an diesem Punkt die Bayes'sche Berechnung mit der ersten Stichprobe wie folgt starten:

   A = GM will release the new car in two years
   B1 = GM will successfully test a new transmission
   P(A) = Prior Probability that GM will release the new car in two years
   P(B1) = Probability that GM will successfully test a new transmission
   P(B1|A) = Likelihood that given a successful transmission test, the car will be released within 2 years

Zuweisen von Werten wie folgt

   P(A) = .9
   P(B1) = .95
   P(B1|A) = .7

P (A | B_{1}) = \frac{P (A) P (B_{1} | A)}{P (A) P (B_{1} | A) + P (\bar{A}) P (B_{1} | \bar{A})}

$P(A|B_1) = \frac {P(A)P(B_1|A)}{P(A)P(B_1|A)+P(\bar{A})P(B_1|\bar{A})}$

.9545 = \frac{.9 * .7}{(.9 * .7) + (.1 * .3)}

$.9545 = \frac {.9*.7}{(.9*.7)+(.1*.3)}$

Kurz nachdem die KIA-Statistikabteilung dieses Update veröffentlicht hatte, gab GM bekannt, dass sie ihren neuen Motor getestet hatten und dass er bei allen Tests eine Erfolgsquote von 98% aufwies. Die KIA-Ingenieure gaben an, dass bei einem erfolgreichen Motortest in der Regel eine Wahrscheinlichkeit von 80% besteht, dass ein Auto pünktlich fertiggestellt wird. Sie wussten jedoch nicht, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für die Gesamtabschlusszeit sowohl für den Motor als auch für a ist Übertragungstest war.

Die Werte für unser zweites Beweisstück, die beachtet werden sollten, sind für diesen Fall unabhängig - aber nicht in allen Fällen zum Beispiel muss der Körper nach der Suspendierung weitermachen:

   P(B2) = .98
   P(B2|A) = .8

Hier habe ich also Probleme: Ich rechne das hintere P (A | B1) arithmetisch in die Berechnung für P (A | B1, B2) ein, da die Prioritäten konstant bleiben sollten. Wie bereits erwähnt, sind einige Ereignisse in { } unabhängig, andere bedingt. $B_1...B_n$

Ich habe den Wikipedia-Eintrag gesehen, der die Erweiterung von drei Ereignisbuchten beschreibt:

P (A | B_{1}, B_{2}) = \frac{P (B_{2} | A, B_{1}) P (B_{1} | A) P (A)}{P (B_{2} | B_{1}) P (B_{1})}

$P(A|B_1,B_2) = \frac {P(B_2|A,B_1)P(B_1|A)P(A)}{P(B_2|B_1)P(B_1)}$

Was ist jedoch mit einer vierten und fünften Erweiterung?

Die meisten Bücher und Online-Ressourcen, die ich habe, zeigen nicht die Schritte zum Aktualisieren von Priors auf eine Weise, die ich unterscheiden kann. Es könnte sein, dass ich zu weit von meinen Tagen im Grundstudium entfernt bin, um es zu interpretieren, aber ich befürchte, dass ich bedeutende Erfahrung in Mengenlehre und Mathematik auf Hochschulniveau haben muss, um eine scheinbar einfache Berechnung durchführen zu können. Dieser Austausch ist der nächste, den ich finden konnte, und selbst er geht nicht durch. Die Tatsache, dass ich nach einer Woche der Suche kein grundlegendes Tutorial über die Mechanik der Aktualisierung gefunden habeDer Bayes-Satz (egal, was der Bayes-Satz ist und wie er funktioniert - es gibt mehr als genug davon) über die erste Implementierung hinaus lässt mich denken, dass es sich nicht um eine triviale Berechnung handelt. Gibt es eine einfache Möglichkeit, diese Aktualisierung ohne Mathematik auf Hochschulniveau durchzuführen?

Hinweis: Ich bin mir der Ironie bewusst, die mit der inhärenten Schwierigkeit des "Aktualisierungsproblems" WRT Bayes verbunden ist, wie Yudkowski es seit einiger Zeit tut. Ich habe vielleicht fälschlicherweise angenommen, dass diejenigen, die daran arbeiten, auf viel komplexere Iterationen verweisen, aber ich bin mir bewusst, dass dies der Fall sein könnte, wenn ich auf dieses Problem stoße.

bayesian

— Andrew
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Antworten:

Ich beantworte zunächst Ihre Frage zum Aktualisieren von Ereignissen mit der "vierten und fünften Erweiterung". Wie Sie vermutet haben, ist die Arithmetik in der Tat recht einfach.

Erinnern Sie sich zunächst daran, wie der Bayes-Satz aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit abgeleitet wird: