root-n konsistenter Schätzer, aber root-n konvergiert nicht?

Ich habe den Begriff "root-n" konsistenter Schätzer oft gehört. Aufgrund der Ressourcen, von denen ich angewiesen wurde, dachte ich, dass ein konsistenter "root-n" -Schätzer Folgendes bedeutet:

Der Schätzer konvergiert auf den wahren Wert (daher das Wort "konsistent").
Der Schätzer konvergiert mit einer Rate von $1/\sqrt{n}$

Das verwirrt mich, da nicht konvergiert? Vermisse ich hier etwas Entscheidendes? $1/\sqrt{n}$

convergence estimators consistency

— Candic3
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Es bedeutet .

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ) = O_{p} (1)

$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)=O_p(1)$

— Hejseb

Aber ist eine Variable. Wie würden Sie das berechnen?

\hat{θ}

$\hat\theta$

— Candic3

@hejseb, ich freue mich über Ihre Antwort, danke. Würden Sie das bitte in Worten erklären? Es hilft mir, verbalisieren zu können, anstatt nur Symbole zu betrachten.

— Candic3

Gute Frage! Aber ich bin verwirrt von der Behauptung, dass nicht konvergiert. Was haben Sie damit gemeint?

1 / \sqrt{n}

$1/\sqrt n$

— Silberfischchen

Sie verwechseln die Sequenz mit der Reihe allgemeinen Term von . Ersteres konvergiert gegen wenn groß wird, während letzteres divergiert. Letzteres ist jedoch irrelevant.

1 / \sqrt{n} = 1 / 1, 1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{3}, \dots

$1/\sqrt{n} = 1/1, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3}, \ldots$

\sum_{i = 1}^{n} 1 / \sqrt{k}

$\sum_{i=1}^n 1/\sqrt{k}$

1 / 1 + 1 / \sqrt{2} + 1 / \sqrt{3} + \dots + 1 / \sqrt{n}

$1/1 + 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{3} + \cdots + 1/\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

— whuber

Was hejseb bedeutet, ist, dass "in der Wahrscheinlichkeit begrenzt" ist, lose gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass "extrem" wird "Werte ist" klein ". $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$ $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$

Nun divergiert offensichtlich ins Unendliche. Wenn das Produkt von und begrenzt ist, muss dies bedeuten, dass mit der Wahrscheinlichkeit auf Null geht, formal und insbesondere mit der Rate wenn das Produkt begrenzt werden soll. Formal ist nur eine andere Art zu sagen, dass wir Konsistenz haben - der Fehler "verschwindet" als . Beachten Sie, dass für die Konsistenz nicht ausreichen würde (siehe Kommentare), da dies nur bedeuten würde, dass der Fehler $\sqrt{n}$ $\sqrt{n}$ $(\hat\theta-\theta)$ $(\hat\theta-\theta)$ $\hat\theta-\theta=o_p(1)$ $1/\sqrt{n}$

\hat{θ} - θ = O_{p} (n^{- 1 / 2})

$\hat\theta-\theta=O_p(n^{-1/2})$

\hat{θ} - θ = o_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=o_p(1)$

n \to \infty

$n\to\infty$

\hat{θ} - θ = O_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=O_p(1)$

\hat{θ} - θ

$\hat\theta-\theta$ ist begrenzt, aber nicht, dass es auf Null geht.

— Christoph Hanck
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Damit ein Schätzer "konsistent" ist, muss er einen konstanten Wert von haben, denn wenn er , würde die Schätzung mit zunehmendem n divergieren.

O (1)

$O(1)$

O (n)

$O(n)$

— Candic3

Nein, nicht ganz, siehe meine Bearbeitung.

— Christoph Hanck