Statistische Variation in zwei Formel-1-Qualifikationsformaten

Ich habe gerade diesen BBC-Artikel über das Qualifying-Format in der Formel 1 gelesen .

Die Organisatoren möchten das Qualifying weniger vorhersehbar machen, dh die statistische Streuung des Ergebnisses erhöhen. Bei einigen irrelevanten Details werden die Fahrer im Moment nach ihrer besten Einzelrunde aus (der Konkretisierung halber) zwei Versuchen gewertet.

Ein F1-Chef, Jean Todt, schlug vor, dass die Rangfolge der Fahrer um den Durchschnitt von zwei Runden die statistische Variation erhöhen würde, da die Wahrscheinlichkeit, dass Fahrer einen Fehler machen, doppelt so hoch sein könnte. Andere Quellen argumentierten, dass eine Mittelung die statistische Variation mit Sicherheit verringern würde.

Können wir sagen, wer unter vernünftigen Annahmen Recht hat? Ich nehme an, es läuft auf die relative Varianz von gegen , wobei und Zufallsvariablen sind, die die zwei Rundenzeiten eines Fahrers darstellen.min ( x , y ) x $\text{mean}(x,y)$$\text{min}(x,y)$$x$$y$

Ich denke, es kommt auf die Verteilung der Rundenzeiten an.

Sei unabhängig, gleichverteilt.$X,Y$

1. Wenn , dann ist$P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$$Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
2. Wenn jedoch , dann ist V a r ( X + $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$$Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

Dies steht im Einklang mit dem Argument, das in der Frage über das Begehen eines Fehlers (dh das Ausführen einer außergewöhnlich langen Zeit mit einer geringen Wahrscheinlichkeit) angeführt wurde. Daher müssten wir die Verteilung der Rundenzeiten kennen, um zu entscheiden.

Nehmen Sie ohne Einschränkung der Allgemeinheit an, dass und beide Variablen aus derselben Verteilung mit einem bestimmten Mittelwert und einer bestimmten Varianz stammen.$y \leq x$

{ x $\{y,x\}$ verbessert um,$\{x\}$

Fall 1 bedeutet: ,$\frac{y-x}{2}$

Fall 2, min: .$y-x$

Daher hat der Mittelwert die Hälfte des Effekts auf die Verbesserung (die durch die Varianz bestimmt wird) als das Minimum (für 2 Versuche). Das heißt, der Mittelwert dämpft die Variabilität.

Hier ist mein Beweis von Var [Mean]

Für 2 Zufallsvariablen x, y gibt es eine Beziehung zwischen ihrem Mittelwert und max und min.

$$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$$ Daher Wenn wir nun annehmen, dass die Verteilung um den Mittelwert symmetrisch ist, dann ist Dann ist und Daher ist es auch einfach, Aus dieser Ableitung geht hervor, dass Sie zum Umkehren dieser Ungleichung eine Verteilung mit einer sehr scharfen Kürzung der Verteilung auf der negativen Seite des Mittelwerts benötigen. Zum Beispiel für die Exponentialverteilung hat der Mittelwert eine größere Varianz als die min. $$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$$ $$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$$ $$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$$ $$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$$ $$Var[Mean]<=Var[Min]$$

Schöne Frage, danke! Ich stimme @sandris zu, dass es auf die Verteilung der Rundenzeiten ankommt, möchte jedoch betonen, dass kausale Aspekte der Frage angesprochen werden müssen. Ich vermute, dass die Formel 1 eine langweilige Situation vermeiden möchte, in der jedes Jahr dasselbe Team oder derselbe Fahrer den Sport dominiert, und dass sie insbesondere hoffen, die (umsatzgenerierende!) Aufregung einer realen Möglichkeit einzuführen, die "heiße" neue Fahrer haben können plötzlich entstehen im sport.

Das heißt, ich vermute, dass es eine gewisse Hoffnung gibt, übermäßig stabile Platzierungen von Teams / Fahrern zu stören. (Betrachten Sie die Analogie zur Temperaturerhöhung beim simulierten Tempern .) Dann stellt sich die Frage, welche ursächlichen Faktoren bei der Arbeit auftreten und wie sie sich auf die Bevölkerung der Fahrer / Teams verteilen, um den derzeitigen etablierten Betreibern einen dauerhaften Vorteil zu verschaffen. (Betrachten Sie die analoge Frage der Erhebung hoher Erbschaftssteuern, um die Wettbewerbsbedingungen in der Gesellschaft insgesamt zu verbessern.)

Angenommen, die amtierenden Teams halten ihre Amtszeit durch eine konservative Strategie aufrecht, die stark von der Erfahrung des Fahrers abhängt und auf eine geringe Abweichung der Rundenzeiten zu Lasten der durchschnittlichen Rundenzeit abstellt. Nehmen wir im Gegensatz dazu an, dass die aufstrebenden Teams mit (sagen wir) jüngeren Fahrern zwangsläufig eine aggressivere (risikoreiche) Strategie mit größerer Varianz verfolgen, aber dass dies spektakuläres Fahren beinhaltet, das manchmal genau richtig ist und Erfolge erzielt eine atemberaubende Rundenzeit. Aus Sicherheitsgründen würde die Formel 1 gerne solche Außenseiter im Rennen sehen. In diesem kausalen Szenario scheint eine Best-of-n-Runden-Strategie (großes ) den Starts einen Schub zu geben - vorausgesetzt, die erfahrenen Fahrer sind „auf ihre Art und Weise eingestellt“ und könnten es nicht.$n$

Nehmen wir andererseits an, dass ein Motorschaden ein unkontrollierbares Ereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit für alle Teams ist und dass die aktuelle Rangliste die tatsächliche Abstufung der Fahrer- / Teamqualität in Bezug auf viele andere Faktoren korrekt widerspiegelt. In diesem Fall verspricht das Pech eines Motorschadens der einzige "Ausgleichsfaktor" zu sein, den die F1 nutzen könnte, um eine größere Chancengleichheit zu erreichen - zumindest ohne hartnäckige Manipulationen, die den Anschein von "Konkurrenz" zerstören. In diesem Fall verspricht eine Politik, die Motorausfälle stark benachteiligt (die der einzige Faktor in diesem Szenario sind, der nicht im Verhältnis zu den etablierten Betreibern funktioniert), Instabilität in den Rankings zu fördern. In diesem Fall wäre die oben erwähnte Best-of-n-Strategie genau die falsche Strategie.

Ich stimme anderen Antworten im Allgemeinen zu, dass der Durchschnitt von zwei Läufen eine geringere Varianz aufweist, aber ich glaube, dass sie wichtige Aspekte, die dem Problem zugrunde liegen, auslassen. Vieles hat damit zu tun, wie die Fahrer auf die Regeln und ihre Qualifikationsstrategien reagieren.

Beispielsweise wären die Fahrer mit nur einer Qualifikationsrunde konservativer und daher vorhersehbarer und langweiliger. Die Idee mit zwei Runden ist es, den Fahrern die Möglichkeit zu geben, die eine Chance zu nutzen, um diese "perfekte Runde" zu erreichen, während eine andere für einen konservativen Lauf zur Verfügung steht. Mehr Runs würden viel Zeit in Anspruch nehmen, was auch langweilig sein könnte. Das aktuelle Setup ist möglicherweise der "Sweet Spot", um in kürzester Zeit die meiste Action zu erzielen.

Beachten Sie auch, dass der Fahrer bei einem Mittelungsansatz die schnellste wiederholbare Rundenzeit finden muss. Bei der minimalen Annäherung muss der Fahrer nur eine Runde lang so schnell wie möglich fahren, wahrscheinlich weiter als bei der durchschnittlichen Annäherung.

Diese Diskussion kommt der Spieltheorie näher. Ihre Frage könnte in diesem Licht bessere Antworten erhalten. Dann könnte man andere Techniken vorschlagen, wie die Option, dass ein Fahrer die erste Rundenzeit zugunsten eines zweiten Laufs und möglicherweise eine schnellere oder langsamere Zeit verliert. Etc.

Beachten Sie auch, dass in diesem Jahr ein Qualifyingwechsel versucht wurde, der die Fahrer in der Regel in eine konservative Runde zwang. https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying Das Ergebnis wurde als Katastrophe angesehen und schnell abgebrochen.