Verknüpfung zwischen Varianz und paarweisen Abständen innerhalb einer Variablen

Bitte beweisen Sie, dass, wenn wir zwei Variablen (gleiche Stichprobengröße) und und die Varianz in größer als in , die Summe der quadrierten Differenzen (dh der quadrierten euklidischen Abstände) zwischen Datenpunkten in ebenfalls größer als ist dass innerhalb von . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
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Bitte klären Sie: Wenn Sie Varianz sagen , meinen Sie damit Varianz in der Stichprobe ? Wenn Sie sagen Summe von quadrierten Differenzen tun Sie Mittelwert

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— Kardinal

Unter der Annahme der vorstehenden:

Indem für Elemente in der Kreuzterm sorgfältig Buchhaltung. Ich stelle mir vor, Sie können die (kleinen Lücken) ausfüllen. Das Ergebnis folgt dann trivial.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— Kardinal

Es gibt auch eine Möglichkeit, dies "ohne" Berechnung zu bewerkstelligen, indem die Tatsache berücksichtigt wird, dass

, wenn

und

aus

(mit einer genau definierten Varianz) stammen

. Es erfordert jedoch ein etwas tieferes Verständnis der Wahrscheinlichkeitskonzepte.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— Kardinal

For a related question, I used a visualization of what's going on here in a reply at stats.stackexchange.com/a/18200: the squared differences are areas of squares.

— whuber

@whuber: Very nice. Somehow I had missed this answer of yours along the way.

— cardinal

Just to provide an "official" answer, to supplement the solutions sketched in the comments, notice

None of $\operatorname{Var} ((X_i))$ , $\operatorname{Var} ((Y_i))$ , $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ , or $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ are changed by shifting all $X_i$ uniformly to $X_i-\mu$ for some constant $\mu$ or shifting all $Y_i$ to $Y_i-\nu$ for some constant $\nu$ . Thus we may assume such shifts have been performed to make $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ , whence $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ and $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$ .
After clearing common factors from each side and using (1), the question asks to show that $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ implies $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ .
Simple expansion of the squares and rearranging the sums give
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ with a similar result for the $Y$ 's.

The proof is immediate.

— whuber
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