Ein Name für diese Verteilungsbedingung?

Ich bin auf eine notwendige Bedingung für eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung gestoßen, die über definiert ist $[0, \infty]$ und frage mich, ob sie einen Namen hat. Für eine Verteilung mit CDF $F$ und pdf $f$ benötige ich die Menge:

$$\phi(x) \equiv \frac{f(x)}{F(x)+xf(x)}$$ monoton nicht ansteigend sein. Putting den Zustandin anderer Form (durch Derivate nehmen), ist die Forderungdass für alle$x \in [0,\infty]$so daß$f'(x) > 0$: $$f(x) \geq \sqrt{\frac{F(x) f'(x)}{2}}$$

Dies scheint eine allgemein zufriedene Eigenschaft zu sein. Hat sie also einen Namen? Es hängt mit einer monotonen Gefährdungsrate zusammen, unterscheidet sich jedoch von dieser.

Dies ist fast die Voraussetzung dafür, dass die kumulative Verteilungsfunktion logarithmisch konkav ist , was bei vielen Anwendungen eine sehr nützliche Eigenschaft ist. Aber fast .

$F(x)$

$$\frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le 0 \Rightarrow F''(x)F(x) - \left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

Schreiben Sie in Form von$\phi(x)$$F(x)$

$$\phi(x) \equiv \frac{F'(x)}{F(x)+xF'(x)}$$

und wir wollen

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow F''(x)\Big(F(x)+xF'(x)\Big)-F'(x)\Big(F'(x)+F'(x) +xF''(x)\Big) \le 0$$

$$\Rightarrow F''(x)F(x)-2\left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

... was für die logarithmische Konkavität aufgrund des Vorhandenseins des Faktors nicht ausreicht . $2$

Angenommen, die Bedingung ist erfüllt. Wenn wir durch dividieren und neu anordnen, erhalten wir$[F(x)]^2$

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow \frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le \left( \frac{F'(x)}{F(x)}\right)^2 = \left(\frac {\partial \ln F(x)}{\partial x}\right)^2$$