Beispiele aus dem wirklichen Leben für den Unterschied zwischen Unabhängigkeit und Korrelation

Es ist bekannt, dass die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen eine Nullkorrelation impliziert, eine Nullkorrelation jedoch keine Unabhängigkeit implizieren muss.

Ich bin auf viele mathematische Beispiele gestoßen, die die Abhängigkeit trotz Nullkorrelation demonstrieren. Gibt es Beispiele aus dem wirklichen Leben, die diese Tatsache unterstützen?

correlation independence intuition

— Benutzer46697
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Seien Sie vorsichtig, nur eine Korrelation von Null und gemeinsam normale Variablen bedeuten Unabhängigkeit.

— Francis

@Siddesh "Da das Volumen jedoch keine lineare Funktion der Länge ist, sind sie nicht korreliert." Nun, nicht perfekt korreliert. Aber sie würden positiv korreliert sein.

— Silverfish

@Siddhesh: Das funktioniert nur, wenn ...

E [{l e n g t h}^{4}] - E [l e n g t h] E [{l e n g t h}^{3}] = 0

$E[\mathrm{length}^4]-E[\mathrm{length}]E[\mathrm{length}^3]=0$

— Francis

Fühlen Sie sich frei, den Kommentar zur Normalverteilung wieder einzutragen, wenn Sie mit meiner Bearbeitung nicht einverstanden sind. Aber ich dachte, dass es besser entfernt werden sollte, da (1) es ein ablenkendes Nebenproblem zu Ihrer Hauptfrage ist, (2) es (glaube ich) bereits im Lebenslauf gestellt wurde, also ein Duplikat des vorhandenen Materials hier wäre, ( 3) Ich wollte nicht, dass es bei zukünftigen Lesern Verwirrung stiftet. Ich habe versucht, die Frage so zu bearbeiten, dass sich die Wahrscheinlichkeit einer Wiedereröffnung erhöht: Ich denke, diese Frage unterscheidet sich deutlich von den Fragen der "mathematischen Statistik" zum selben Thema.

— Silverfish

Ich denke immer noch, dass diese Frage wirklich nett ist und einige weitere interessante Antworten finden könnte, wenn sie erneut geöffnet werden könnte (was einige Bearbeitungen erfordern könnte, um sie klar von dem Thread zu unterscheiden, von dem sie derzeit als Duplikat angesehen wird). Ich habe einen Thread zu Meta darüber gestartet, wie diese Frage wieder geöffnet werden kann. Alle Kommentare sind willkommen.

— Silverfish

Antworten:

Aktienrenditen sind ein gutes Beispiel dafür, was Sie verlangen. Zwischen der heutigen und der gestrigen S & P 500-Rendite besteht eine Korrelation nahe Null. Es besteht jedoch eine klare Abhängigkeit: Die quadratischen Renditen sind positiv autokorreliert; Perioden mit hoher Volatilität werden zeitlich gebündelt.

R-Code:

library(ggplot2)
library(grid)
library(quantmod)

symbols   <- new.env()
date_from <- as.Date("1960-01-01")
date_to   <- as.Date("2016-02-01")
getSymbols("^GSPC", env=symbols, src="yahoo", from=date_from, to=date_to)  # S&P500

df <- data.frame(close=as.numeric(symbols$GSPC$GSPC.Close),
                 date=index(symbols$GSPC))
df$log_return     <- c(NA, diff(log(df$close)))
df$log_return_lag <- c(NA, head(df$log_return, nrow(df) - 1))

cor(df$log_return,   df$log_return_lag,   use="pairwise.complete.obs")  # 0.02
cor(df$log_return^2, df$log_return_lag^2, use="pairwise.complete.obs")  # 0.14

acf(df$log_return,     na.action=na.pass)  # Basically zero autocorrelation
acf((df$log_return^2), na.action=na.pass)  # Squared returns positively autocorrelated

p <- (ggplot(df, aes(x=date, y=log_return)) +
      geom_point(alpha=0.5) +
      theme_bw() + theme(panel.border=element_blank()))
p
ggsave("log_returns_s&p.png", p, width=10, height=8)

Die Zeitreihen des Protokolls werden auf dem S & P 500 zurückgegeben:

Wenn die Renditen zeitlich unabhängig (und stationär) wären, wäre es sehr unwahrscheinlich, dass diese Muster der Cluster-Volatilität auftreten, und Sie würden keine Autokorrelation in quadratischen Log-Renditen sehen.

— Adrian
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Ein weiteres Beispiel ist die Beziehung zwischen Stress und Noten bei einer Prüfung. Die Beziehung ist eine inverse U-Form und die Korrelation ist sehr gering, obwohl die Ursache ziemlich klar zu sein scheint.

— Peter Flom - Monica wieder einsetzen
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Das ist ein gutes Beispiel. Haben Sie Daten oder diese basieren nur auf Selbstbeobachtung / Unterrichtserfahrung?

— Adrian

Ich habe eine Studie darüber gesehen, aber ich habe sie vor vielen Jahren gesehen, daher habe ich weder das Zitat noch die tatsächlichen Daten.

— Peter Flom - Wiedereinsetzung von Monica