Warum hat der Rao-Blackwell Satz erfordert

Der Rao-Blackwell-Satz besagt

Lassen ein Schätzer für sein mit für alle . Nehmen wir an, dass ausreichend ist , und sei Dann gilt für alle , Die Ungleichheit ist streng , es sei denn $\hat{\theta}$ $\theta$ $\Bbb E (\hat{\theta}^2) < \infty$ $\theta$ $T$ $\theta$ $\theta ^ * = \Bbb E (\hat{\theta}|T)$ $\theta$
$E (θ^{*} - θ)^{2} \leq E (\hat{θ} - θ)^{2}$ $\Bbb E (\theta^* - \theta )^2 \leq \Bbb E (\hat{\theta} - \theta )^2$ ist eine Funktion von $\hat{\theta}$ $T$

Wenn ich diesen Satz richtig verstanden habe , diese besagt , dass, wenn ich eine erschöpfende Statistik haben für , dann wird der bedingte Erwartungswert von gegeben die Lösung auf $T$ $\theta$ $\hat{\theta}$ $T$ $\min_{\hat{\theta}} \Bbb E$ $(\hat{\theta}-\theta)^2$

Meine Quesitons

Stimmt es, dass minimiert ? $\theta^*$ $\Bbb E$ $(\hat{\theta}-\theta)^2$
Warum erfordert der Rao-Blackwell-Satz ? $\Bbb E(\hat{\theta}^2) < \infty$
Warum ist die Ungleichung streng, es sei denn, ist eine Funktion von ? $\hat{\theta}$ $T$

rao-blackwell

— Stan Shunpike
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Mögliches Duplikat der intuitiven und formelhaften Rechtfertigung für den Rao-Blackwell-Satz

— Xi'an

Was ist erforderlich, um ?

min_{\hat{θ}} E

$\min_{\hat{\theta}} \Bbb E$

(\hat{θ} - θ)^{2}

$(\hat{\theta}-\theta)^2$

— Stan Shunpike

Antworten:

Nein, ist ein besserer Schätzer als aber nicht unbedingt der beste (was auch immer das bedeutet!) $\theta^*$ $\hat\theta$
Wenn der Schätzer keine Varianz hat, ist sein Risiko unendlich und es gibt keine Garantie dafür, dass ein endliches Risiko hat (auch wenn dies geschehen kann, wie Horst Grünbusch in seinen Kommentaren ausgeführt hat). $\theta^*$
$\hat\theta$ $var (\hat{θ}) = E_{T} [var (\hat{θ} | T)] + {var}_{T} (E [\hat{θ} | T]) = E_{T} [var (θ | T)] + {var}_{T} (θ^{*})$ $\text{var}(\hat\theta)=\mathbb{E}_T[\text{var}(\hat\theta|T)]+ \text{var}_T(\mathbb{E}[\hat\theta|T])=\mathbb{E}_T[\text{var}(\theta|T)]+\text{var}_T(\theta^*)$ $\hat\theta$ $T$

— Xi'an
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E ({\hat{θ}}^{2} | T) < E ({\hat{θ}}^{2}) = \infty

$E(\hat{\theta}^2|T)<E(\hat{\theta}^2)=\infty$

\hat{θ} = X + C

$\hat{\theta} = X + C$

μ

$\mu$

X \sim N (μ, σ^{2})

$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$

C

$C$

T

$T$

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

∣ T

$\mid T$

C

$C$

θ^{*}

$\theta^\ast$

C

$C$

C \sim t_{2}

$C \sim t_2$

E (C) = 0

$E(C)=0$

C

$C$

X

$X$

X

$X$

E (X + C | X) = E (X | X) + E (C | X) = X + E (C) = X

$E(X+C|X) = E(X|X) + E(C|X) = X + E(C) = X$

\infty = V a r (C) + V a r (X) = V a r (X + C) > V a r (X + C | X) = σ^{2}

$\infty=Var(C) + Var(X) = Var(X+C)>Var(X+C|X)=\sigma^2$

\infty \leq \infty

$\infty \leq \infty$

Beachten Sie, dass eine ausreichende Statistik nicht eindeutig ist. Trivialerweise sind die gesamten Daten ausreichend, aber die Konditionierung eines Schätzers auf sie ändert nichts. Eine ausreichende Statistik allein reicht also nicht aus (Wortspiel!), Um einen minimalen mittleren quadratischen Fehler zu haben. Siehe den Lehmann-Scheffé-Satz, der den Rao-Blackwell-Satz im Beweis verwendet, für eine ausreichende Hinlänglichkeit (tatsächlich ausreichend und vollständig).
$T$ $\leq$

$C_1 \sim t_2 + \mu$ $t_2$ $E(C_1) = \mu$ $Var(C_1) = \infty$ $C_2 \sim t_2$ $\mu$ $\hat{\theta} = C_1 + C_2$ $C_1$ $E(\hat{\theta}|C_1)=C_1$ $\hat{\theta}$ $C_1+C_2$ $C_1$ $<$

$\hat{\theta}$ $T$ $\hat{\theta}$ $\theta$

— Horst Grünbusch
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