Unterschied zwischen zentriertem und nicht zentriertem ?

Als mein Professor über Anpassungsgütemaßnahmen sprach, erwähnte er sowohl zentriertes als auch nicht zentriertes $R^2$ aber ich bin nicht sicher, ob ich den Unterschied zwischen ihnen hinsichtlich ihrer praktischen Anwendung verstanden habe.

In Formeln definierte er $R^2 = \frac{y'P_{[X]}M_{[1]}P_{[X]}y}{y'M_{[1]}y}$ und $R^2_u = \frac{y'P_{[X]}y}{y'y}$ , wobei $P_{[X]}$ der orthogonale Projektor der Matrix $X$ der Regressoren ist, $M_{[1]}$ der "Restmacher" für eine Matrix $X$ die den Einheitsvektor als Spalte enthält; und $\boldsymbol{y}$ ist der Vektor abhängiger Variablen.

Meine Frage betrifft die Hauptunterschiede zwischen diesen beiden Anpassungsmaßen und die Fälle, in denen ich das eine oder das andere verwenden sollte.

regression goodness-of-fit

— Promotion
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Verwandte: stats.stackexchange.com/questions/26176 (siehe die akzeptierte Antwort).

— Amöbe

Ich weiß nicht viel über Ökonometrie. Aber ich denke, Ihre Frage ist im Wesentlichen eine statistische. Betrachten Sie ein OLS-ModellSei , nimm auch als "Intercept-Subraum". kann als Verhältnis von zwei "Quadratsummen" definiert werden:Unter Verwendung von Projektionsmatrizen, die idempotent und symmetrisch sind, heißt dies gleichbedeutend:

y = X β + ε .

$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{X\beta}+\boldsymbol{\varepsilon}.$

V = col (X)

$V=\operatorname{col}(\boldsymbol{X})$

V_{0} \subset V

$V_0\subset V$

R^{2}

$R^2$

R^{2} = \frac{‖ \hat{y} - {\hat{y}}_{0} ‖^{2}}{‖ y - {\hat{y}}_{0} ‖^{2}} .

$R^2=\frac{\lVert\hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{y}}_0\rVert^2}{\lVert\boldsymbol{y}-\hat{\boldsymbol{y}}_0\rVert^2}.$

R^{2} = \frac{‖ (P_{V} - P_{V_{0}}) y ‖^{2}}{‖ (I - P_{V_{0}}) y ‖^{2}} = \frac{‖ (I - P_{V_{0}}) P_{V} y ‖^{2}}{‖ (I - P_{V_{0}}) y ‖^{2}} = \frac{y^{'} P_{V} (I - P_{V_{0}}) P_{V} y}{y^{'} (I - P_{V_{0}}) y} .

$R^2=\frac{\lVert(\boldsymbol{P}_V-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{y}\rVert^2}{\lVert(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{y}\rVert^2}=\frac{\lVert(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{P}_V\boldsymbol{y}\rVert^2}{\lVert(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{y}\rVert^2}=\frac{\boldsymbol{y}'\boldsymbol{P}_V(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{P}_V\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{y}'(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{y}}.$ In der üblichen OLS nehmen wir und . Dann

X = (\begin{matrix} 1_{n} & x \end{matrix})

$\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{1}_n&\boldsymbol{x}\end{pmatrix}$

V_{0} = span {1_{n}}

$V_0=\operatorname{span}\{\boldsymbol{1}_n\}$

I - P_{V_{0}} = I - \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{'} = M_{1}

$\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0}=\boldsymbol{I}-\frac{1}{n}\boldsymbol{1}_n\boldsymbol{1}_n'=\boldsymbol{M}_1$ (was impliziert, dass der "Restmacher" eine Projektionsmatrix auf ). Wenn wir den Intercept-Term auf indem wir und . Dann , alsoKurz gesagt, das "zentrierte"

M_{1}

$\boldsymbol{M}_1$

V_{0}^{⊥}

$V_0^\perp$

0

$0$

X = (\begin{matrix} 0_{n} & x \end{matrix})

$\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{0}_n&\boldsymbol{x}\end{pmatrix}$

V_{0} = span {0_{n}} = {0_{n}}

$V_0=\operatorname{span}\{\boldsymbol{0}_n\}=\{\boldsymbol{0}_n\}$

I - P_{V_{0}} = I

$\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0}=\boldsymbol{I}$

R^{2} = \frac{y^{'} P_{V} (I - P_{V_{0}}) P_{V} y}{y^{'} (I - P_{V_{0}}) y} = \frac{y^{'} P_{V} y}{y^{'} y} .

$R^2=\frac{\boldsymbol{y}'\boldsymbol{P}_V(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{P}_V\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{y}'(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}_{V_0})\boldsymbol{y}}=\frac{\boldsymbol{y}'\boldsymbol{P}_V\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{y}'\boldsymbol{y}}.$

R^{2}

$R^2$ ist das übliche , und das "nicht zentrierte" ist das wenn das Modell keinen Intercept-Term enthält. Das Wort "zentriert" kommt meiner Meinung nach von der Tatsache, dass

R^{2}

$R^2$

R^{2}

$R^2$

R^{2}

$R^2$

P_{V_{0}} y = \frac{1}{n} 1_{n} 1_{n}^{'} y = \bar{y} 1_{n} .

$\boldsymbol{P}_{V_0}\boldsymbol{y}=\frac{1}{n}\boldsymbol{1}_n\boldsymbol{1}_n'\boldsymbol{y}=\bar{y}\boldsymbol{1}_n.$

— Francis
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Danke für Ihre Erklärung. Der einzige praktische Unterschied besteht also darin, dass wir das zentrierte nicht berechnen können, wenn sich der Achsenabschnitt nicht im Modell befindet, und daher das nicht zentrierte verwenden sollten.

R^{2}

$R^2$

— PhDing

@Alessandro: Das kann man wohl sagen. Im Allgemeinen ist es keine gute Praxis, den Achsenabschnitt zu löschen. Sehen Sie, wann es in Ordnung ist, den Achsenabschnitt in lm () zu entfernen.

— Francis