Sollte die Dirac-Delta-Funktion als Unterklasse der Gaußschen Verteilung angesehen werden?

In Wikidata ist es möglich, Wahrscheinlichkeitsverteilungen (wie alles andere) in einer Ontologie zu verknüpfen, z. B. dass die t-Verteilung eine Unterklasse der nichtzentralen t-Verteilung ist, siehe z.

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Es gibt verschiedene Grenzfälle, z. B. wenn die Freiheitsgrade in der t-Verteilung gegen unendlich gehen oder wenn die Varianz für die Normalverteilung gegen Null geht (Gaußsche Verteilung). Im letzteren Fall geht die Verteilung in Richtung Diracs Delta-Funktion.

Ich stelle fest, dass in der englischen Wikipedia der Varianzparameter derzeit als größer als Null angegeben wird, sodass man bei einer strengen Interpretation nicht sagen würde, dass die Delta-Funktion des Dirac eine Unterklasse der Normalverteilung ist. Für mich scheint es jedoch ganz in Ordnung zu sein, da ich sagen würde, dass die Exponentialverteilung eine Oberklasse der Dirac-Delta-Funktion ist.

Gibt es Probleme mit der Feststellung, dass die Dirac-Delta-Funktion eine Unterklasse der Gaußschen Verteilung ist?

distributions normal-distribution dirac-delta

— Finn Årup Nielsen
quelle

WENN das Dirac-Delta eine Unterklasse des Gaußschen ist, muss seine Kurtosis 3 sein, oder?

— Aksakal

Ich denke, wenn wir das Dirac-Delta als eine Unterklasse mehrerer Wahrscheinlichkeitsverteilungen betrachten, dann ist die Kurtosis für das Dirac-Delta inkonsistent. Es spricht dagegen, das Dirac-Delta als Unterklasse einer dieser Verteilungen zu betrachten.

— Finn Årup Nielsen

Im Wahrscheinlichkeitskontext wird Delta als verallgemeinerte Funktion beschrieben. Es ist keine gewöhnliche Funktion

— Aksakal

Antworten:

Diracs Delta wird als Gaußsche Verteilung angesehen, wenn dies zweckmäßig ist, und nicht so, wenn dieser Standpunkt es erfordert, dass wir Ausnahmen machen.

Zum Beispiel soll eine multivariate Gaußsche Verteilung aufweisen, wenn eine Gaußsche Zufallsvariable für alle Auswahlmöglichkeiten von reellen Zahlen . (Hinweis: Dies ist eine Standarddefinition in "erweiterten" Statistiken). Da eine Auswahl , behandelt die Standarddefinition die Konstante (eine entartete Zufallsvariable) als eine Gaußsche Zufallsvariable (mit Mittelwert und Varianz ). Andererseits ignorieren wir unsere Betrachtung des Dirac-Deltas als Gaußsche Verteilung, wenn wir so etwas in Betracht ziehen $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

"Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (CDF) einer Gaußschen Zufallsvariablen mit einem Mittelwert von Null und einer Standardabweichung ist wobei die CDF einer Standard-Gaußschen Zufallsvariablen ist. " $\sigma$

F_{X} (x) = P {X \leq x} = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

Beachten Sie, dass diese Aussage fast richtig, aber nicht ganz richtig ist, wenn wir das Dirac-Delta als Grenzfall einer Folge von Gaußschen Zufallsvariablen mit einem Mittelwert von Null betrachten, deren Standardabweichung gegen (und daher als Gaußsche Zufallsvariable). Die CDF des Dirac-Deltas hat den Wert für während $0$ $1$ $x \geq 0$

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$ Aber viele Leute werden Ihnen sagen, dass es Unsinn ist, ein Dirac-Delta als Gaußsche Verteilung zu betrachten, da ihr Buch besagt, dass die Varianz einer Gaußschen Zufallsvariablen eine positive Zahl sein muss (und einige von ihnen werden diese Antwort herabstimmen, um sie zu zeigen ihr Missfallen). Vor einigen Jahren gab es eine sehr lebhafte und aufschlussreiche Diskussion über diesen Punkt auf stats.SE, aber leider nur in den Kommentaren zu einer Antwort (von @Macro, glaube ich) und nicht als individuelle Antwort, und ich kann sie nicht wiederfinden .

— Dilip Sarwate
quelle

+1. Ich bin mir nicht sicher, ob es ein Problem mit der CDF gibt, da ich glaube, dass der Grenzwert einer Folge von CDFs bei jedem Sprung der Grenze keine Rolle spielt. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu sehen. Eine ist zu beachten, dass Ihre Grenzformel keine gültige CDF ist (es ist kein Cadlag). Eine andere Möglichkeit ist, zu beachten, dass Sie eine Dirac-Verteilung bei wenn Sie gleichzeitig lassen, aber Sie können sich den Grenzwert von zwischen und (oder überhaupt kein Limit haben).

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

Das Gespräch, auf das Sie sich beziehen, fand in den Kommentaren dieser Antwort statt , obwohl ich aufrichtig hoffe, dass die Diskussion für die meisten Leser nicht zu heftig erscheint . (+1)

— Kardinal

@cardinal Tiefes Wissen über unsere Community. Gut gemacht!

— Matthew Drury

Die Delta-Funktionen passen in eine mathematische Verteilungstheorie (die sich deutlich von der Theorie der Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterscheidet , die Terminologie könnte hier nicht verwirrender sein).

Verteilungen sind im Wesentlichen verallgemeinerte Funktionen. Sie können nicht wie eine Funktion ausgewertet werden, aber dann können integriert werden. Genauer gesagt ist eine Verteilung wie folgt definiert $D$

Sei die Sammlung von Testfunktionen . Eine Testfunktion ist eine echte, ehrliche Funktion, glatt, mit kompakter Unterstützung. Eine Verteilung ist eine lineare Abbildung $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Eine ehrliche Funktion bestimmt eine Verteilung durch den Integrationsoperator $f$

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

Es gibt Verteilungen, die nicht mit echten Funktionen verknüpft sind. Der dirac-Operator ist eine davon

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

In diesem Sinne können Sie den Dirac als Grenzfall der Normalverteilungen betrachten. Wenn die Familie von mit Normalverteilungen mit dem Mittelwert Null und der Varianz , dann für jede Testfunktion $N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

Dies wird wahrscheinlich häufiger ausgedrückt als

θ (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) θ (x) d x = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

was ein Mathematiker als Missbrauch der Notation betrachten würde, weil der Ausdruck eigentlich keinen Sinn ergibt. Aber wer bin ich , um Dirac zu kritisieren, der der Beste ist? $\delta(x)$

Ob dies den Dirac zu einem Mitglied der Familie der Normalverteilungen macht, ist natürlich eine kulturelle Frage. Hier gebe ich nur einen Grund an, warum es sinnvoll sein kann, dies in Betracht zu ziehen.

— Matthew Drury
quelle

Obwohl ich Ihren Aussagen zustimme, denke ich, dass dies das Gegenteil impliziert. Eine Delta-Funktion ist keine Teilmenge von Gaußschen. Ebenso muss eine Grenze kontinuierlicher Funktionen keine kontinuierliche Funktion sein.

— Seanv507

@ seanv507 Ich habe mein Bestes getan, um keine Schlussfolgerung zu ziehen!

— Matthew Drury

Ich dachte, Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen sehr ähnlich, wobei eine Dirac-Delta-Verteilung (Wahrscheinlichkeitsverteilung) eine deterministische Variable

— anzeigt

Wenn Sie die Grenzen der Integrale nicht schreiben, können sie auf unbestimmte Zeit verwirrt werden. Auch dieser Satz macht keinen Sinn: "Eine Testfunktion θ ist eine wahre, ehrliche Funktion, glatt, mit kompakter Unterstützung".

— Ogogmad

@jkabrg Warum macht es keinen Sinn? Seit ich es geschrieben habe, fällt es mir schwer zu sehen, dass es keinen Sinn ergibt.

— Matthew Drury

-1

Nein, es ist keine Unterklasse der Normalverteilung.

Ich denke, die Verwirrung kommt von einer der Darstellungen der Dirac-Funktion. Denken Sie daran, dass es wie folgt definiert ist:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (x) = 0, \forall x \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

Es ist als Integral definiert, was großartig ist, aber manchmal müssen Sie es eher durch eine Funktionsdarstellung als durch ein Integral operationalisieren. Die Leute haben sich also alle möglichen Alternativen ausgedacht, eine davon sieht aus wie die Gaußsche Dichte:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

Dies ist jedoch nicht die einzige Darstellung , z. B. die folgende:

δ (x) = \frac{1}{2 π} \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{i k x}, \forall x \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

Daher ist es am besten, sich die Dirac-Funktion als integrale Definition vorzustellen und die Funktionsdarstellungen wie Gauß als Hilfsmittel zu verwenden.

UPDATE Für @ whuber ist diese Darstellung von Diracs Delta ein noch besseres Beispiel:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{- \frac{| x |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

Sieht das für Sie nach einer Laplace-Verteilung aus? Sollten wir dann Diracs Delta nicht als Unterklasse der Laplace-Verteilung betrachten?

— Aksakal
quelle

Irgendwann in dieser Antwort scheinen Sie von der Erörterung von Verteilungen zur Erörterung von "Funktionen" zu wechseln. Die Frage bezieht sich explizit auf "Wahrscheinlichkeitsverteilungen". Diese sind im Allgemeinen nicht durch Dichtefunktionen gegeben, sondern können immer durch ihre Verteilungsfunktion gegeben sein. Die Verteilung eines Atoms - das "Dirac-Delta" - passt wunderbar zu allen anderen Gaußschen Verteilungen als Grenzfall. (In Matthew Drurys Setup wird es als diese Grenze definiert !) Ihr Argument scheint der Behauptung ähnlich zu sein, dass Kreise beispielsweise keine Ellipsen sind. Die Durchsetzung solcher Ausnahmen erscheint nicht konstruktiv.

— whuber

@whuber, was ist "Verteilung eines Atoms"?

— Aksakal

Ein "Atom" ist ein Wahrscheinlichkeitsklumpen an einem einzelnen Punkt. Entsprechend ist die Verteilung jeder Zufallsvariablen fast überall konstant.

— whuber

@whuber, Oh, ich dachte an ein physikalisches Atom. Nein, mein Punkt ist, dass Diracs Delta keine Unterklasse von Gauß ist, weil es auch von Laplace wie distros dargestellt werden kann

— Aksakal

Betreff: Ihr Standpunkt zu Laplace-Distributionen. So wie ein Quadrat sowohl ein Rechteck als auch eine Raute ist und die Gleichverteilung sowohl ein Sonderfall einer Gleichverteilung als auch einer Beta-Verteilung ist, eine Verteilung kann zu mehreren benannten Verteilungsfamilien gehören. Die Delta-Verteilungen gehören tatsächlich zu jeder Standortskalenfamilie, und mindestens eine Delta-Verteilung gehört zu jeder Skalenfamilie. Geometrisch sind Familien Kurven in einem Verteilungsraum; eine gegebene Verteilung ist ein Punkt; und (offensichtlich) jeder Punkt kann zu vielen Kurven gehören.

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber