Was ist die Nullhypothese im Mann-Whitney-Test?

Sei ein Zufallswert aus Verteilung 1 und sei ein Zufallswert aus Verteilung 2. Ich dachte, dass die Nullhypothese für den Mann-Whitney-Test .$X_1$$X_2$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$

Wenn ich Simulationen des Mann-Whitney-Tests mit Daten aus Normalverteilungen mit gleichen Mitteln und gleichen Varianzen mit , erhalte ich Fehlerraten vom Typ I, die sehr nahe bei 0,05 liegen. Wenn ich jedoch die Varianzen ungleich mache (aber die Mittelwerte gleich lasse), wird der Anteil der Simulationen, in denen die Nullhypothese verworfen wird, größer als 0,05, was ich nicht erwartet habe, da noch. Dies geschieht , wenn ich in R, unabhängig davon , ob ich , oder .$\alpha=0.05$$P(X_1 < X_2) = P(X_2 < X_1)$wilcox.testexact=TRUEexact=FALSE, correct=TRUEexact=FALSE, correct=FALSE

Unterscheidet sich die Nullhypothese von dem, was ich oben geschrieben habe, oder ist der Test nur hinsichtlich des Fehlers vom Typ I ungenau, wenn die Varianzen ungleich sind?

Von Hollander & Wolfe, S. 106-7,

Sei die Verteilungsfunktion entsprechend Population 1 und die Verteilungsfunktion entsprechend Population 2. Die Nullhypothese lautet: für jedes . Die Nullhypothese besagt, dass die Variable und die Variable dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben, die gemeinsame Verteilung jedoch nicht angegeben ist.$F$$G$$H_O: F(t)=G(t)$$t$$X$$Y$

Genau genommen beschreibt dies den Wilcoxon-Test, aber , also sind sie äquivalent.$U=W-\frac{n(n+1)}{2}$