Zeitreihenanalyse: Da die Volatilität von der Zeit abhängt, warum sind die Renditen stationär?

Ich führe einen Dickey Fuller-Test durch, um festzustellen, ob die Aktienrenditen stationär sind. Ich verstehe, egal welche Bestandsaufnahme ich mache, seine Rückkehr ist stationär. Ich weiß nicht, warum ich dieses Ergebnis erhalte, da klar ist, dass die Volatilität von der Zeit abhängt (daher sind die Renditen nicht stationär, da ihre Varianz von der Zeit abhängt). Ich möchte sowohl eine mathematische als auch eine intuitive Antwort erhalten.

Ich denke, Ihr Problem ist, dass Sie die bedingungslose Varianz und die bedingte Varianz verwechseln. In der Tat können Sie eine zeitlich variierende bedingte Volatilität, aber eine konstante bedingungslose Varianz haben.

Zunächst zeige ich, was Dickey-Fuller macht und warum es sich um einen sehr spezifischen Test handelt. Zweitens erkläre ich, warum Sie eine zeitlich variierende bedingte Volatilität, aber eine konstante bedingungslose Varianz haben können.

Betrachten Sie zunächst den Rahmen:

$y_{t}=\rho y_{t-1}+\epsilon_{t}$ wobei für .$\epsilon_t\sim_{iid}\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$t\in[1,T]$

Wenn Sie die Erwartung und (bedingungslose) Varianz von , erhalten Sie$y_t$

$\mathbb{E}[y_t]=\rho^{t-1}y_{1}$ und$\mathbb{V}[y_t]=\sigma^2\sum_{l=0}^{t-1}\rho^{2l}$

Der Dickey-Fuller-Test führt gegen .$H0:"\rho=1"$$H1:"\rho<1"$

Wenn , dann ist , was bedeutet, dass die bedingungslose Varianz linear mit der Zeit zunimmt.$\rho=1$$\mathbb{V}[y_t]=t\sigma^2$

Wenn es unter 1 liegt, ist die bedingungslose Varianz aufgrund der geometrischen Reihe ihres Ausdrucks tendenziell zeitlich konstant. Wenn und , was impliziert, dass es kovarianzstationär ist.$\rho<1$$t\rightarrow\infty$$\mathbb{V}[y_t]\rightarrow\frac{\sigma^2}{1-\rho^2}<+\infty$

Wenn der DF-Test H0 ablehnt, können Sie daher nicht akzeptieren, dass die bedingungslose Varianz im Vergleich zur Hypothese der kovarianzstationären Station linear mit der Zeit zunimmt, sondern nur eine bestimmte Form der Nichtstationarität betrifft.

Zweitens betrachten Sie den folgenden Prozess (ARCH (1)):

$y_{t}=\sigma_t\epsilon_t$ mit$\sigma_t^2=\alpha+\beta y_{t-1}^2$

Dabei ist und , , wobei unabhängig von .$\alpha>0$$0<\beta< 1$$\epsilon_t\sim_{iid}\mathcal{N}(0,1)$$\sigma_t$$\epsilon_t$

Hier sehen Sie, dass der Volatilitätsparameter von der Zeit abhängt. Dieser Parameter ist jedoch die Varianz von abhängig von der Information, die wir zum Zeitpunkt . Tatsächlich ist die bedingungslose Varianz von :$\sigma_t$$y_t$$t$$y_t$

$\mathbb{V}[y_t]=\mathbb{E}[y_t^{2}]=\mathbb{E}[\sigma_t^2]=\alpha+\beta \mathbb{E}[y_{t-1}^2]$

Wenn kovarianzstationär ist, ist was impliziert:$y_t$$\mathbb{V}[y_t]=\mathbb{E}[y_t^{2}]=\mathbb{E}[y_{t-1}^{2}]$$\mathbb{V}[y_t]=\frac{\alpha}{1-\beta}<+\infty$

Also, kann Kovarianzstationarität stationär sein , während lokal einige Cluster von Volatilität anzeigt.$y_t$

Um weiter nachzudenken, können Sie sich dieses Papier ansehen, in dem ein Rahmen vorgeschlagen wird, um zu testen, ob die bedingungslose Varianz der Vereinten Nationen konstant ist oder nicht: Sansó, A., Aragó, V. und Carrion-i-Silvestre, J. Ll. (2004): „Testen auf Änderungen in der bedingungslosen Varianz finanzieller Zeitreihen“.

Der erweiterte Dickey-Fuller-Test bewertet, ob die untersuchte Zeitreihe eine Einheitswurzel hat oder nicht. Der Test wurde speziell für diesen Zweck entwickelt. Entweder lehnt es die Null von Unit Root ab oder es wird nicht abgelehnt.

Die Ablehnung der Einheitswurzel sollte jedoch nicht als Vorhandensein von Stationarität interpretiert werden. Das Vorhandensein einer Einheitswurzel ist eine Form der Nichtstationarität, aber das Fehlen einer Einheitswurzel impliziert keine Stationarität. Beispielsweise sind das Vorhandensein eines deterministischen Zeittrends oder bestimmte Formen der bedingten Heteroskedastizität auch Formen der Nichtstationarität und können für eine Zeitreihe charakteristisch sein, unabhängig davon, ob sie eine Einheitswurzel hat oder nicht.

Die Botschaft zum Mitnehmen lautet: Stationarität wird niemals bestätigt . Wir können nur einige Formen der Nichtstationarität basierend auf bestimmten Tests ablehnen (oder nicht ablehnen) (aber es wird andere mögliche Formen der Nichtstationarität geben, auf die wir noch nicht getestet haben).

Der Dickey-Fuller-Test prüft nicht die Stationarität der Rücklaufvolatilitäten. Wenn Sie also "stationär" sagen, können Sie viele Dinge bedeuten. Es gibt keinen einzigen Test, der die Stationarität in der strengen vollständigen Definition dieses Begriffs überprüft. Es gibt verschiedene Tests, die verschiedene Facetten der Stationarität prüfen.

Intuitiv prüft der DF-Test nur, ob in Prozessen gilt: $\theta_1=1$

Wenn es sich bei den Rückgaben also um zufällige Spaziergänge handelt (z. B. ), kann DF sie erkennen. Es wird nicht getestet, ob konstant ist.$\theta_1=1$$\sigma_{e_t}$

Wenn Sie also (hoffentlich nicht) denken, dass Aktienrenditen zufällige Spaziergänge sind, sollten Sie vom DF-Ergebnis überrascht sein, andernfalls ist es das erwartete Ergebnis. Es gibt Tests wie Engles ARCH , die auf sich ändernde Volatilität testen.

UPDATE Schauen Sie sich dieses erstaunliche Papier an: EINE MARKTWIRTSCHAFT IM FRÜHRÖMISCHEN REICH, Peter Temin , S.15. Die Kreditzinsen lagen im alten Ägypten vor Tausenden von Jahren im Bereich von 4 bis 12%! Es sind die gleichen Preise wie heute. Zumindest in Levels (Mittelwerten) mussten die Renditen stationär sein.

Was Sie getestet haben, ist Stationarität erster Ordnung. Unter http://www.maths.bris.ac.uk/~guy/Research/LSTS/TOS.html finden Sie eine Liste mit einigen Tests der Stationarität zweiter Ordnung:

• Der Priestley-Subba Rao (PSR) -Test
• Wavelet-Spektrum-Test

und sogar etwas Code, um es in R auszuführen.