Warum ist die Multiplikation im Frequenzbereich gleich der Faltung im Zeitbereich?

Diese Frage wurde im Zusammenhang mit dem Verständnis gestellt, wie eine Verteilung einer Summe von zwei iid-Zufallsvariablen erhalten werden kann. Ich arbeite an der besten Antwort auf diese Frage. Betrachten Sie die Summe von Gleichverteilungen auf oder . Warum verschwindet die Spitze im PDF von für ? $n$$[0,1]$$Z_n$$Z_n$$n \geq 3$und versuchen zu verstehen, warum sich charakteristische Funktionen so verhalten, wie sie es tun.

Der Titel ist die ganze Frage.

Nehmen wir an, wir könnten eine (messbare) Funktion die auf den reellen Zahlen mit der Eigenschaft that definiert ist$\chi$

für alle Zahlen und und für die es eine endliche positive Zahl für die für alle . Beachten Sie, wie Addition (die grundlegende Operation, die in einer Faltung auftritt) und Multiplikation in Beziehung setzt.$a$$b$ $M$$|\chi(a)| \le M$$a$$\chi$

Warum sind diese Eigenschaften nützlich? Angenommen, und sind unabhängige Zufallsvariablen. Lassen jede reelle Zahl. Dann (diese beiden Eigenschaften in umgekehrter Reihenfolge aufnehmen)$X$$Y$$t$

1. $\mathbb{E}(\chi(tX)) \le \mathbb{E}(|\chi(tX)|) = \mathbb{E}(M) = M \lt \infty$ (mit einem ähnlichen Ausdruck für ) zeigt, dass die Erwartungen der Zufallsvariablen und existieren und endlich sind, mit einer einheitlichen Grenze unabhängig von .$Y$$\chi(tX)$$\chi(tY)$$M$$t$

   Diese Prozedur, eine Zufallsvariable und sie in die Funktion umzuwandeln $X$

   $$t \to \mathbb{E}(\chi(tX)) = (\operatorname{cf}_\chi(X))(t)$$

   Dadurch wird jeder Zufallsvariablen eine genau definierte, begrenzte Funktion zugewiesen - unabhängig davon, welche schrecklichen Eigenschaften könnte.$\operatorname{cf}_\chi(X)$$X$$X$

2. $\mathbb{E}(\chi(t(X+Y))) = \mathbb{E}(\chi(tX)\chi(tY)) = \mathbb{E}(\chi(tX))\mathbb{E}(\chi(tY))$ weil und unabhängig sind. Etwas anders geschrieben,$X$$Y$

   $$(\operatorname{cf}_\chi(X+Y))(t) = ((\operatorname{cf}_\chi(X))(\operatorname{cf}_\chi(Y)))(t)$$

   Das heißt, die Transformation wandelt die Faltung (Addition von Zufallsvariablen) in eine (punktweise) Multiplikation von Funktionen um.$\operatorname{cf}_\chi$

Viel mehr kann gesagt werden: siehe Literatur zur Fourier-Analyse . In der Zwischenzeit wurde die Frage jedoch so beantwortet, dass "Zeit" und "Frequenz" möglicherweise rote Heringe sind: Diese grundlegende Eigenschaft der Umwandlung von Faltung in Multiplikation beruht nur auf der Existenz eines schönen . $\chi$

Die einzigen reellen Funktionen mit den definierenden Eigenschaften von sind und . Sie führen zu nichts Nützlichem. Aber wenn wir zulassen , dass haben komplexe Werte, dann ist eine solche Funktion und erzeugt nützliche Ergebnisse. (Außerdem sind alle diese von diesem abgeleitet: Sie müssen für eine feste reelle Zahl die Form .) In diesem Fall wird , um die genannte charakteristische Funktion von .$\chi$$\chi(a) = 1$$\chi(a) = 0$$\chi$$\chi(a) = \exp(ia)$$\chi$$a\to \exp(ia\lambda)$$\lambda$$\operatorname{cf}_\chi(X)$$X$

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass ist , wenn nicht identisch Null ist muss immer gleich , egal was ist. Solche Funktionen werden (komplexe) multiplikative Zeichen (der additiven Gruppe reeller Zahlen) genannt.$\chi$$|\chi(a)|$$1$$a$

Die Antwort hängt davon ab, wonach Sie in der Antwort suchen.

Für mich war dies zum Beispiel die Antwort , und der Rest waren nur die Details: Es geht nur um den Exponenten, wenn Sie sie multiplizieren, werden ihre Argumente hinzugefügt.