Bootstrap-basiertes Konfidenzintervall

Während ich das bootstrap-basierte Konfidenzintervall studierte, las ich einmal die folgende Aussage:

Wenn die Bootstrap-Verteilung nach rechts verschoben ist, enthält das Bootstrap-basierte Konfidenzintervall eine Korrektur, um die Endpunkte noch weiter nach rechts zu verschieben. Das mag zwar nicht intuitiv erscheinen, ist aber die richtige Maßnahme.

Ich versuche die Logik zu verstehen, die der obigen Aussage zugrunde liegt.

Die Frage bezieht sich auf die grundlegende Konstruktion von Konfidenzintervallen, und wenn es um Bootstrapping geht, hängt die Antwort von der verwendeten Bootstrapping-Methode ab.

Betrachten Sie das folgende Setup: ist ein Schätzer für einen realwertigen Parameter mit (einer geschätzten) Standardabweichung , dann einem Standard-95% -Konfidenzintervall basierend auf einem normalen Annäherung ist Dieses Konfidenzintervall wird als die Menge von 's abgeleitet, die wobei das 2,5% - Quantil und ist das 97,5% -Quantil für das$\hat{\theta}$$\theta$$\text{se}$$N(\theta, \text{se}^2)$

$$\hat{\theta} \pm 1.96 \text{se}.$$ $\theta$ $$z_{1} \leq \hat{\theta} - \theta \leq z_2$$ $z_1 = -1.96\text{se}$$z_2 = 1.96\text{se}$$N(0, \text{se}^2)$-Verteilung. Die interessante Beobachtung ist, dass wir beim Umordnen der Ungleichungen das Konfidenzintervall erhalten, das ausgedrückt wird als Das heißt, es ist das untere 2,5% -Quantil, das den rechten Endpunkt bestimmt, und das obere 97,5% -Quantil, das den linken Endpunkt bestimmt. $$\{\theta \mid \hat{\theta} - z_2 \leq \theta \leq \hat{\theta} - z_1 \} = [\hat{\theta} - z_2, \hat{\theta} - z_1].$$

Wenn die Stichprobenverteilung von im Vergleich zur normalen Näherung richtig verzerrt ist, was ist dann die geeignete Aktion? Wenn rechtsschräg bedeutet, dass das 97,5% -Quantil für die Stichprobenverteilung ist, müssen Sie den linken Endpunkt weiter nach links verschieben. Das heißt, wenn wir uns an die obige Standardkonstruktion halten. Eine Standardverwendung des Bootstraps besteht darin, die Stichprobenquantile zu schätzen und sie dann anstelle von in der obigen Konstruktion zu verwenden.$\hat{\theta}$$z_2 > 1.96\text{se}$$\pm 1.96 \text{se}$

Jedoch kann eine andere Standardausführung in Bootstrapping eingesetzt ist die Perzentil - Intervall , das ist in der obigen Terminologie. Es ist einfach das Intervall vom 2,5% -Quantil bis zum 97,5% -Quantil für die Stichprobenverteilung vonEine rechtsverzerrte Stichprobenverteilung von impliziert ein rechtsverzerrtes Konfidenzintervall. Aus den oben genannten Gründen, dies erscheint mir ein kontra-intuitives Verhalten von Perzentil - Intervallen zu sein. Aber sie haben andere Tugenden und sind zum Beispiel unter monotonen Parametertransformationen unveränderlich.

$$[\hat{\theta} + z_1, \hat{\theta} + z_2].$$ $\hat{\theta}.$$\hat{\theta}$

BCA (Bias-korrigierte und beschleunigt) Bootstrap - Intervalle , wie durch Efron eingeführt, siehe beispielsweise das Papier Bootstrap Con fi denzintervalle , zur Verbesserung des von den Eigenschaften der Perzentile - Intervalle. Ich kann das Zitat nur erraten (und googeln), aber vielleicht ist BCa der geeignete Kontext. Zitat von Diciccio und Efron aus dem genannten Aufsatz, Seite 193,

Das folgende Argument motiviert die BCa-Definition (2.3) sowie die Parameter und . Angenommen, es gibt eine monoton ansteigende Transformation so dass h für jede Wahl von normalverteilt ist , aber möglicherweise mit einem Bias und eine nicht konstante Varianz ist Dann gibt (2.3) genau genaue und korrekte Konfidenzgrenzen für , das beobachtet .$a$$z_0$$\phi = m(\theta)$$\hat{\phi} = m(\hat{\theta})$$\theta$

$$\hat{\phi} \sim N(\phi - z_0 \sigma_{\phi}, \sigma_{\phi}^2), \quad \sigma_{\phi} = 1 + a \phi.$$ $\theta$$\hat{\theta}$

Dabei ist (2.3) die Definition der BCa-Intervalle. Das vom OP veröffentlichte Zitat kann auf die Tatsache verweisen, dass BCa Konfidenzintervalle mit einer rechtsgerichteten Stichprobenverteilung weiter nach rechts verschieben kann. Es ist schwer zu sagen, ob dies im Allgemeinen die "richtige Aktion" ist, aber nach Diciccio und Efron ist es im obigen Setup richtig, Vertrauensintervalle mit der richtigen Abdeckung zu erzeugen. Die Existenz der monotonen Transformation ist allerdings etwas schwierig.$m$