Eigenfunktionen und Eigenwerte des Exponentialkerns

Was sind die Eigenfunktionen und die Eigenwerte des Exponentialkerns?

Der exponentielle Kernel ist definiert als

k (x, x^{'}) = σ^{2} \exp (\frac{| | x - x^{'} | |}{l})

$k(x,x')=\sigma^2\exp\left(\frac{||x-x'||}{l}\right)$ wo beides

σ > 0

$\sigma>0$ und

l > 0

$l>0$ .

Das Mercers-Theorem sagt uns das für jede Kernelfunktion $k(x,x')$ Es gibt eine Zerlegung der Eigenfunktionen $\phi_i(x)$ und entsprechende Eigenwerte $\lambda_i$ so dass

k (x, x^{'}) = \sum_{i = 1}^{\infty} λ_{i} ϕ_{i} (x) ϕ_{i} (x)

$k(x,x')=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i \phi_i(x)\phi_i(x)$

Die Fourier-Transformation

F (k) (ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} k (r) e^{i ω r} d r

$\mathcal{F}(k)(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} k(r) e^{i\omega r}dr$ der Funktion

k (r) = σ^{2} \exp (\frac{| | r | |}{l})

$k(r)=\sigma^2 \exp\left(\frac{||r||}{l}\right)$ mit

r = x - x^{'}

$r=x-x'$ ist

F (k) (ω) = \frac{\sqrt{\frac{2}{π}} σ^{2} l}{l^{2} ω^{2} + 1} .

$\mathcal{F}(k)(\omega)=\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sigma^2 l}{l^2 \omega ^2+1}.$ Wie gehe ich von hier aus vor?

kernel-trick

— Julian Karls
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Einige Informationen finden Sie in Gaußschen Prozessen für maschinelles Lernen, Abschnitt 4.3, "Eigenfunktionsanalyse von Kerneln".

— Sycorax sagt Reinstate Monica

Ist das eine Frage des maschinellen Lernens oder eine reine mathematische Frage?

— Gung - Reinstate Monica

@gung Es könnte beides sein. Ich hatte jedoch gehofft, dass die Lösung für dieses Problem im Problem des maschinellen Lernens besser bekannt ist. Deshalb habe ich es hier gepostet.

— Julian Karls

Angenommen, der Hamilton-Operator Ihres Systems ist der Operator | x>, dann versuchen Sie wirklich, den reziproken Raum von x zu finden. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, die Fourier-Transformation von k (x, x ') zu nehmen, die per Definition eine lineare Kombination der k (x, x') -Zustände ist. Weitere Informationen finden Sie hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Ich empfehle auch, die Variablen auf r = xx 'umzustellen, um die Mathematik zu vereinfachen.

— Greg Petersen
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Hey danke für deinen Kommentar. Ich habe Ihren Vorschlag zu meiner ursprünglichen Frage hinzugefügt. Wie gehe ich von dort aus vor?

— Julian Karls

Eigentlich sollte ich einen Schritt zurück machen. Welchen Betreiber untersuchen Sie? Um Eigenwerte und Eigenfunktionen zu finden, müssen Sie diese zuerst definieren. Mir wurde klar, dass ich davon ausging, dass es sich um den Fourier-Transformationsoperator handelt.

— Greg Petersen