Ein alternativer Ansatz, der für GAMs verwendet werden kann, die mit der mgcv- Software von Simon Wood für R angepasst wurden, besteht darin, aus dem angepassten GAM eine posteriore Inferenz für das interessierende Merkmal durchzuführen . Dies beinhaltet im Wesentlichen die Simulation der posterioren Verteilung der Parameter des angepassten Modells, wobei Werte der Antwort über ein feines Gitter von vorhergesagt werdenx Standorte, die finden x Wenn die angepasste Kurve ihren Maximalwert annimmt, wiederholen Sie dies für viele simulierte Modelle und berechnen Sie ein Vertrauen für den Ort der Optima als Quantile der Verteilung der Optima aus den simulierten Modellen.
Das Fleisch von dem, was ich unten präsentieren wurde von Seite 4 von Simon Wood cribbed Skriptum (pdf)
Um ein Beispiel für Biomasse zu erhalten, simuliere ich mit meinem Coenocliner- Paket die Häufigkeit einer einzelnen Art entlang eines einzelnen Gradienten .
library("coenocliner")
A0 <- 9 * 10 # max abundance
m <- 45 # location on gradient of modal abundance
r <- 6 * 10 # species range of occurence on gradient
alpha <- 1.5 # shape parameter
gamma <- 0.5 # shape parameter
locs <- 1:100 # gradient locations
pars <- list(m = m, r = r, alpha = alpha,
gamma = gamma, A0 = A0) # species parameters, in list form
set.seed(1)
mu <- coenocline(locs, responseModel = "beta", params = pars, expectation = FALSE)
Passen Sie das GAM an
library("mgcv")
m <- gam(mu ~ s(locs), method = "REML", family = "poisson")
... auf einem feinen Gitter über den Bereich von vorhersagen x( locs) ...
p <- data.frame(locs = seq(1, 100, length = 5000))
pp <- predict(m, newdata = p, type = "response")
und visualisieren Sie die angepasste Funktion und die Daten
plot(mu ~ locs)
lines(pp ~ locs, data = p, col = "red")
Dies erzeugt
Die 5000 Vorhersagepositionen sind hier wahrscheinlich übertrieben und sicherlich für die Darstellung, aber abhängig von der angepassten Funktion in Ihrem Anwendungsfall benötigen Sie möglicherweise ein feines Gitter, um sich dem Maximum der angepassten Kurve zu nähern.
Jetzt können wir vom hinteren Teil des Modells aus simulieren. Zuerst bekommen wir dieX.pMatrix; Die Matrix, die einmal mit Modellkoeffizienten multipliziert wird, liefert Vorhersagen aus dem Modell an neuen Ortenp
Xp <- predict(m, p, type="lpmatrix") ## map coefs to fitted curves
Als nächstes sammeln wir die angepassten Modellkoeffizienten und ihre (Bayes'sche) Kovarianzmatrix
beta <- coef(m)
Vb <- vcov(m) ## posterior mean and cov of coefs
Die Koeffizienten sind eine multivariate Normalen mit mittlerem Vektor betaund Kovarianzmatrix Vb. Daher können wir aus diesem multivariaten normalen neuen Koeffizienten für Modelle simulieren, die mit dem angepassten übereinstimmen, aber die Unsicherheit im angepassten Modell untersuchen. Hier erzeugen wir 10000 ( n) `simulierte Modelle
n <- 10000
library("MASS") ## for mvrnorm
set.seed(10)
mrand <- mvrnorm(n, beta, Vb) ## simulate n rep coef vectors from posterior
Jetzt können wir Vorhersagen für die nsimulierten Modelle generieren , von der Skala des linearen Prädiktors zur Antwortskala transformieren, indem wir die Umkehrung der Verknüpfungsfunktion ( ilink()) anwenden und dann die berechnenxWert (Wert von p$locs) am Maximalpunkt der angepassten Kurve
opt <- rep(NA, n)
ilink <- family(m)$linkinv
for (i in seq_len(n)) {
pred <- ilink(Xp %*% mrand[i, ])
opt[i] <- p$locs[which.max(pred)]
}
Nun berechnen wir das Konfidenzintervall für die Optima unter Verwendung von Wahrscheinlichkeitsquantilen der Verteilung von 10.000 Optima, eines pro simuliertem Modell
ci <- quantile(opt, c(.025,.975)) ## get 95% CI
Für dieses Beispiel haben wir:
> ci
2.5% 97.5%
39.06321 52.39128
Wir können diese Informationen zum früheren Plot hinzufügen:
plot(mu ~ locs)
abline(v = p$locs[which.max(pp)], lty = "dashed", col = "grey")
lines(pp ~ locs, data = p, col = "red")
lines(y = rep(0,2), x = ci, col = "blue")
points(y = 0, x = p$locs[which.max(pp)], pch = 16, col = "blue")
was produziert
Wie wir es angesichts der Daten / Beobachtungen erwarten würden, ist das Intervall auf den angepassten Optima ziemlich asymmetrisch.
Folie 5 von Simons Kursnotizen zeigt, warum dieser Ansatz dem Bootstrapping vorgezogen werden könnte. Vorteile der posterioren Simulation sind, dass sie schnell ist - das Bootstrapping von GAMs ist langsam. Zwei zusätzliche Probleme beim Bootstrapping sind (aus Simons Notizen!)
- Für das parametrische Bootstrapping verursacht die Glättungsverzerrung Probleme, das simulierte Modell ist vorgespannt und die Anpassungen an die Stichproben sind noch stärker vorgespannt.
- Bei nicht parametrischem "Case-Resampling" führt das Vorhandensein von Replikatkopien derselben Daten zu einer Unterglättung, insbesondere bei der GCV-basierten Glättungsauswahl.
Es ist zu beachten, dass die hier durchgeführte posteriore Simulation von den gewählten Glättungsparametern für das Modell / den Spline abhängig ist. Dies kann erklärt werden, aber Simons Notizen legen nahe, dass dies kaum einen Unterschied macht, wenn Sie sich tatsächlich die Mühe machen, dies zu tun. (also habe ich nicht hier ...)