Müssen Null- und Alternativhypothesen erschöpfend sein oder nicht?

Ich habe oft Behauptungen gesehen, dass sie erschöpfend sein müssen (die Beispiele in solchen Büchern waren immer so, dass sie es tatsächlich waren), andererseits habe ich auch oft Bücher gesehen, die angaben, dass sie exklusiv sein sollten ( zum Beispiel als und als ), ohne das erschöpfende Thema zu klären. Erst bevor ich diese Frage eintippte, fand ich auf der Wikipedia-Seite eine etwas stärkere Aussage - "Die Alternative muss nicht die logische Negation der Nullhypothese sein". $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

Könnte jemand erfahrener erklären, was wahr ist, und ich wäre dankbar, wenn ich etwas Licht auf die (historischen?) Gründe für diesen Unterschied werfen würde (die Bücher wurden schließlich von Statistikern geschrieben, dh Wissenschaftlern, nicht Philosophen).

hypothesis-testing

— Greenoldman
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Antworten:

Grundsätzlich gibt es keinen Grund für eine Vollständigkeit der Hypothesen. Wenn der Test über einen Parameter mit ist die Beschränkung , die alternative kann von beliebiger Form sein solange $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{ein} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Ein Beispiel dafür, warum exhaustivity macht nicht viel Sinn , ist beim Vergleich von zwei Familien von Modellen, im Vergleich zu . In einem solchen Fall ist eine Vollständigkeit nicht möglich, da die Alternative dann alle möglichen Wahrscheinlichkeitsmodelle abdecken müsste. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Xi'an
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Danke, wissen Sie zufällig, warum es so häufig vorkommt, dass dieses Erfordernis der Vollständigkeit besteht? Abgesehen von einfachen Missverständnissen, denn dies wäre eines der häufigsten Missverständnisse :-).

— Greenoldman

Ich verstehe das Beispiel nicht. Wenn Sie zwei Familien von Modellen

und

miteinander vergleichen , scheint jedes mögliche Modell in der Familie erschöpft zu sein. Wenn Sie zulassen, dass Null und Alternative nicht jedes dieser Modelle abdecken, erschweren Sie den Prozess der Bewertung des entscheidungstheoretischen Risikos des Tests (sowohl in der Theorie als auch in der Praxis).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

Ich glaube, ich lese Ihr Beispiel richtig, Xi'an, aber ich kämpfe eindeutig mit dem, was Sie unter "erschöpfend" verstehen. Die Verwendung in Ihrer Antwort und Ihren Kommentaren scheint zu bedeuten, dass alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen berücksichtigt werden. In den meisten Hypothesentestsituationen ist dies jedoch nicht relevant. In der gegenwärtigen Situation muss "erschöpfend" bedeuten "alle im Modell enthaltenen Verteilungen umfassen" (wie beispielsweise alle Normalverteilungen für einen Test der Normaltheorie).

— whuber

Der Hauptgrund für die Forderung nach Vollständigkeit von Hypothesen ist das Problem, was passiert, wenn der wahre Parameterwert in dem Bereich liegt, der weder von der Nullhypothese noch von der Alternativhypothese abgedeckt wird. Dann wird das Testen auf der Vertrauensebene bedeutungslos, oder, vielleicht noch schlimmer, Ihr Test wird zugunsten der Null voreingenommen sein - z. B. ein einseitiger Test der Form vs. , wenn tatsächlich . $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

$\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Außerdem schließen Sie die Möglichkeit aus, überrascht zu werden und etwas Interessantes zu lernen.

Man kann es jedoch auch so betrachten, dass der Parameterraum als Teilmenge dessen definiert wird, was normalerweise als Parameterraum angesehen wird, z. B. wird der Mittelwert einer Normalverteilung oft als irgendwo auf der realen Linie liegend angesehen, aber wenn wir dies tun Bei einem einseitigen Test definieren wir den Parameterraum als den Teil der Zeile, der von Null und Alternative abgedeckt wird.

— Bogenschütze
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Vielen Dank, Sie haben sich jedoch vertippt, nicht exklusiv, sondern erschöpfend (erste Zeile).

— Greenoldman

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

θ = 0

$\theta = 0$

Wirklich @whuber? Die Nullhypothese in einem einseitigen Test ist eine Ungleichung, die den ungeprüften Schwanz einschließt? Das macht für mich viel mehr Sinn! Aber wie Sie sagen, wurde es in meinem Kurs als eine Punktgleichheit dargestellt. Danke für die Klarstellung.

— James