Wie wird aus der diskreten Verteilung auf die nicht negativen ganzen Zahlen abgetastet?

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Ich habe die folgende diskrete Verteilung, wobei bekannte Konstanten sind: $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

Welche Ansätze gibt es, um diese Verteilung effizient zu testen?

— jII
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Dies ist eine Beta-negative Binomialverteilung mit dem Parameter in Ihrem Fall unter Verwendung der Wikipedia-Notation. Es wird auch Beta-Pascal- Verteilung genannt, wenn eine ganze Zahl ist. Wie Sie in einem Kommentar bemerkt haben, ist dies eine prädiktive Verteilung im Bayes'schen negativen Binomialmodell mit einem konjugierten Beta vor der Erfolgswahrscheinlichkeit. $r=1$ $r$

Sie können es also abtasten, indem Sie eine -Variable abtasten und dann eine negative Binomialvariable abtasten ( in Ihrem Fall also eine geometrische Verteilung zu sagen). $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

Diese Verteilung ist im R-Paket implementiert brr. Der Sampler hat einen Namen rbeta_nbinom, der pmf hat einen Namen dbeta_nbinomusw. Die Notationen sind , , . Prüfen: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

Wenn man sich den Code ansieht, kann man sehen, dass er tatsächlich die ghyper(verallgemeinerte hypergeometrische) Verteilungsfamilie des SuppDistsPakets aufruft :

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

Ineed ist die BNB-Verteilung als generalisierte hypergeometrische Verteilung vom Typ IV bekannt . Siehe die Hilfe von ghyperim SuppDistsPaket. Ich glaube, dass dies auch in Johnson & al's Buch Univariate Discrete Distributions zu finden ist .

— Stéphane Laurent
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Diese Antwort ist großartig, aber es wäre noch besser, wenn Sie beweisen würden, dass die angegebene Dichte OP mit der negativen Binomialdichte übereinstimmt.

— Sycorax sagt Reinstate Monica

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@ user777 Ich denke, der Autor des OP hat es selbst bewiesen, angesichts seines Kommentars zu Xians Antwort (posteriore prädiktive Verteilung im negativen Binomialmodell mit einem konjugierten Beta-Prior).

— Stéphane Laurent

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Vorausgesetzt, nimmt mit . Ich schlage vor, eine einheitliche Variable generieren und Berechnung der kumulierten Summen bis Die Realisierung ist dann gleich dem entsprechenden . Schon seit

\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > u

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} R_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} R_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ und Die Berechnung kann die Verwendung von Gammafunktionen insgesamt vermeiden.

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— Xi'an
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(+1) Die Verwendung von beschleunigt sich erheblich die Arbeit.

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

— whuber

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Zum Bearbeiten: Ich vermute, dass das Ausnutzen von Gamma-Funktionen dennoch hilfreich sein wird, um nach in Bezug auf , und . Zum Beispiel könnte man eine anfängliche Annäherung an indem man die Stirlingsche Formel bei der Bewertung von und und diese dann mit ein paar Newton-Raphson poliert Schritte. Diese benötigen eine Bewertung von log Gamma und seiner Ableitung. Wenn und beide ganzheitlich sind, ist die Lösung natürlich die Wurzel eines Polynoms - aber selbst dann kann die Verwendung von Gamma immer noch der richtige Weg sein.

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

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Gute Antwort! Ich habe die Antwort von SL akzeptiert, weil ich auf einen wichtigen Punkt aufmerksam gemacht habe (der nicht Teil der ursprünglichen Frage ist), dass das Abtasten aus der posterioren Vorhersage dem Abtasten des Parameters aus dem posterioren Bereich und dem anschließenden Abtasten der Daten aus der Wahrscheinlichkeit entspricht. Insbesondere ist die obige Verteilungsfunktion die hintere Vorhersage von geometrischen Daten mit Beta vor dem Parameter .

p

$p$

— jII