Wie hängen die Fehlerfunktion und die Standardnormalverteilungsfunktion zusammen?

Wenn das normale Standard-PDF

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

und die CDF ist

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

Wie wird daraus eine Fehlerfunktion von ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
quelle

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

Ich habe das gesehen, aber es beginnt mit dem bereits definierten ERF.

— TH4454

Nun, es gibt eine Definition von erf und eine Definition der normalen CDF. Die Beziehungen, die durch einige Routineberechnungen abgeleitet werden können, zeigen, wie man zwischen ihnen konvertiert und wie man zwischen ihren Inversen konvertiert.

— Mark L. Stone

Entschuldigung, ich sehe nicht viele Details. Zum Beispiel ist die CDF von -Inf bis x. Wie geht der ERF von 0 auf x?

— TH4454

Kennen Sie die Kalkültechnik der Variablenänderung? Wenn nicht, lernen Sie, wie es geht.

— Mark L. Stone

Da dies in einigen Systemen häufig vorkommt (z. B. besteht Mathematica darauf, die normale CDF in Form von auszudrücken ), ist es gut, einen Thread wie diesen zu haben, der die Beziehung dokumentiert. $\text{Erf}$

Durch die Definition, die Error - Funktion ist

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Das Schreiben von impliziert (weil nicht negativ ist), woraus . Die Endpunkte und werden zu und . Um das resultierende Integral in etwas umzuwandeln, das wie eine kumulative Verteilungsfunktion (CDF) aussieht, muss es in Form von Integralen ausgedrückt werden, die untere Grenzen von , also: $t^2 = z^2/2$ $t = z / \sqrt{2}$ $t$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Diese Integrale auf der rechten Seite sind beide Werte der CDF der Standardnormalverteilung.

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Speziell,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Dies zeigt, wie die Fehlerfunktion in Bezug auf die normale CDF ausgedrückt wird. Eine algebraische Manipulation davon ergibt leicht die normale CDF in Bezug auf die Fehlerfunktion:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

Diese Beziehung (jedenfalls für reelle Zahlen) ist in Darstellungen der beiden Funktionen dargestellt. Die Grafiken sind identische Kurven. Die Koordinaten der Fehlerfunktion auf der linken Seite sind mit den Koordinaten umgewandelt durch Multiplizieren der auf dem rechten - Koordinaten von , Hinzufügen zu den - Koordinaten, und Dividieren dann die - Koordinaten von , was die Beziehung $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

in der die Notation diese drei Operationen der Multiplikation, Addition und Division explizit zeigt.

— whuber
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Ich denke ist die richtige Art, sie unter Berücksichtigung des Mittelwerts und der Standardabweichung in Beziehung zu setzen.

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$

— Foad