Gibt Ihnen die invertierbare monotone Transformation eines Konfidenzintervalls ein Konfidenzintervall (auf derselben Ebene) im transformierten Raum?

Annehmen

(a, b)

$(a,b)$

ist ein Konfidenzintervall für einen Parameter . Angenommen, ist eine monotone invertierbare Transformation. Dann ist $(1-\alpha)$ $\theta$ $\eta$

(η (a), η (b))

$\left (\eta(a), \eta(b) \right )$

ein Konfidenzintervall für ? Angenommen, der Parameter und die Endpunkte des Konfidenzintervalls sind reelle Zahlen. $(1-\alpha)$ $\eta(\theta)$

Die Antwort scheint intuitiv auf „Ja“ aus ähnlichen Gründen, warum Sie Zufallsvariablen wie Dinge tun , verändern können, wenn , dann $Y = g(X)$

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = P (X \leq g^{- 1} (y))

$P( Y \leq y ) = P( g(X) \leq y ) = P(X \leq g^{-1}(y) )$

Könnte auch mit dem kontinuierlichen Mapping-Theorem zusammenhängen, wie es auf MLEs angewendet wird.

Dies ist keine Hausaufgabe und wird im Zusammenhang mit der Frage gestellt, ob ich 95% für die Log-Quoten einkassieren kann oder nicht, sie dann zurücktransformieren und 95% für die Wahrscheinlichkeit nennen kann.

Vielen Dank

confidence-interval

— Frech
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Gemäß der Definition des Konfidenzintervalls ist (wobei und als Zufallsvariablen angesehen werden). Wie hängen also und zusammen?

Pr (θ \in (a, b)) = 1 - α

$\Pr(\theta\in (a,b))=1-\alpha$

a

$a$

b

$b$

Pr (θ \in (a, b))

$\Pr(\theta\in (a,b))$

Pr (η (θ) \in (η (a), η (b)))

$\Pr(\eta(\theta)\in (\eta(a),\eta(b)))$

— whuber

Ich denke, sobald Sie eine formale Definition von "monoton" aufschreiben, werden Sie die Lösung sehen.

— whuber

Wenden Sie das, was Sie gerade geschrieben haben, auf und auf an, um die Wertemenge zu schließen, für die auch die Wertemenge ist, für die . Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit für genau dieselbe Teilmenge von Werten in jedem Fall berechnen ... müssen die Wahrscheinlichkeiten sicherlich gleich sein. [Wenn Sie es für den Fall können, was ist jetzt anders?]

b > X

$b>X$

X > a

$X>a$

a < X < b

$a<X<b$

η (a) < η (X) < η (b)

$\eta(a) < \eta(X) < \eta(b)$

X

$X$

η (X) = X^{2}

$\eta(X)=X^2$

— Glen_b -State Monica

Das Problem kann dadurch entstehen, wie Sie das resultierende CI interpretieren . Wenn Sie ein CI als Mittelwert nehmen und transformieren, ist es immer noch ein gültiges CI, aber es ist kein CI für den Mittelwert auf der transformierten Skala, es ist ein CI für einen transformierten Mittelwert (eine ganz andere Sache). .eg Wenn ich Protokolle nehme, ein Modell anpasse und ein CI für den Mittelwert auf der Protokollskala finde, kann ich dieses Intervall recht glücklich zurücktransformieren , aber es ist kein CI für den Mittelwert auf der ursprünglichen nicht protokollierten Skala , sondern ein CI für den Potenzierten Mittelwert der Protokolle ..

— Glen_b -State Monica

Bitte geben Sie eine Antwort auf Ihre Frage. (Es wäre eine Verschwendung für Whuber oder mich, den Ruf zu bekommen, eine Frage zu beantworten, die Sie beantworten können.)

— Glen_b - Monica

Ja, weil

P (a < X < b) = P (η (a) < η (X) < η (b))

$P(a < X < b) = P \Big( \eta(a) < \eta(X) < \eta(b) \Big)$

für eine Zufallsvariable und eine monoton streng ansteigende Funktion . Durch ein ähnliches Argument wird, wenn eine monoton streng abnehmende Funktion ist, das transformierte Intervall . $X$ $\eta$ $\eta$ $(\eta(b),\eta(a))$

— Frech
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Ich weiß, dass OP monoton und invertierbar erwähnt hat. Der Vollständigkeit halber sagen Sie einfach streng monoton ansteigend, da dies sonst nicht der Fall ist.

— Alex R.