Mathematische Definition von Infill Asymptotics

Ich schreibe eine Arbeit, in der Infill-Asymptotik verwendet wird, und einer meiner Gutachter hat mich gebeten, eine strenge mathematische Definition der Infill-Asymptotik (dh mit mathematischen Symbolen und Notation) anzugeben.

Ich kann anscheinend keine in der Literatur finden und hoffte, jemand könnte mich entweder in die Richtung einiger weisen oder mir eine selbstgeschriebene Definition geben.

Wenn Sie mit Infill-Asymptotika (auch als Asymptotika mit fester Domäne bezeichnet) nicht vertraut sind, sind dies die folgenden: Infill-Asymptotika basieren auf Beobachtungen, die in einigen festen und begrenzten Regionen mit zunehmender Anzahl immer dichter werden.

Anders ausgedrückt, bei der Infill-Asymptotik werden mehr Daten gesammelt, indem die Probenahme in einem festen Bereich dichter wird.

Ich habe mir bereits Stein 1999 und Cressie 1993 angesehen, aber nichts "mathematisch" Strenges.

Hier ist die zitierte Passage aus meiner Arbeit.

Daher ist es wichtig, die Art der Asymptotik zu erkennen, mit der wir es zu tun haben. In unserem Fall basieren die Asymptotika, mit denen wir uns befassen, auf Beobachtungen, die in einigen festen und begrenzten Regionen mit zunehmender Anzahl immer dichter werden. Diese Arten von Asymptotika sind als Asymptotika mit fester Domäne (Stein, 1999) oder Infill-Asymptotika (Cressie, 1993) bekannt. Infill-Asymptotik, bei der mehr Daten durch dichtere Stichproben in einem festen Bereich gesammelt werden, wird eine Schlüsselrolle bei der Entwicklung eines Arguments für ...

Zu beachten ist, dass ich meine Beobachtungen mit lateinischen Hyperwürfeln beprobe.

Hier ist, was Cressies Buch über Infill-Asymptotik zu sagen hat.

asymptotics definition

Abschnitt 5.8, Infill Asymptotics , der ersten (1991) Ausgabe von Cressies Buch ist klar. Obwohl es keine Definition in mathematischer Notation gibt, wird ein Beispiel (für Asymptotik, die "empfindlicher als Füllung" ist) zwei Seiten später explizit in mathematischer Notation angegeben. Könnten Sie vielleicht die Beschreibung Ihres eigenen Papiers von "Infill Asymptotics" zitieren?

— whuber

@ Whuber Ich fügte das Zitat der ursprünglichen Frage hinzu

Vielen Dank. Dieses Zitat scheint nicht spezifisch genug zu sein. Wie genau gehen Sie vor, um die feste Domain abzutasten? Ein Beispiel (von Cressie angeboten) ist, dass Sie einen Punkt abtasten und dann für immer in einem Cluster um einen anderen Punkt herum abtasten. Dies hätte wahrscheinlich ein anderes asymptotisches Verhalten als beispielsweise die Probenahme mit einem homogenen Poisson-Prozess.

— whuber

@whuber Ich verwende Latin Hypercube Samples.

Bitte nehmen Sie diese Informationen in Ihre Frage auf, da dies für die Antwort von entscheidender Bedeutung ist.

— whuber

Antworten:

Die Definition von Infill-Asymptotika ist nicht besonders nützlich (technisch gesehen, wenn die Domäne fest bleibt und die Stichprobengröße steigt, ist dies Infill-Asymptotik. Betrachten Sie jedoch den Fall, in dem Sie auf einem Transekt von 0 bis 1 eine Stichprobe in 0,1 / nehmen 2, eine weitere Stichprobe in 1 / 2,3 / 4, eine weitere im Intervall 3/4, 7/8 usw. Sie können viel über die Werte bei 1 sagen, aber nicht viel sagen sonst.)

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

Manchmal wird die Füllung nicht explizit angegeben, sondern nur ein Entwurf. Zum Beispiel beschreibt er in der Arbeit von Lahiri (Über die Inkonsistenz von Schätzern basierend auf räumlichen Daten unter Infill Asymptotics) ein Design, das im Wesentlichen ein "zitterndes" Gitter ist (eine gewisse Zufälligkeit als kleines Niveau, aber im Allgemeinen basierend auf Stichproben in hyperrechteckigen Subregionen), die im festen Bereich asymptotisch dicht sind. Er erhält das Ergebnis (häufig bei Füllproblemen), dass die meisten Variogrammparameter inkonsistent geschätzt werden.

Lahiri, Lee und Cressie (Zur asymptotischen Verteilung und asymptotischen Effizienz von Schätzern kleinster Quadrate räumlicher Variogrammparameter, J.StatPlanInf 2002, Bd. 103, S. 65-85) betrachten in ähnlicher Weise Infill-Gitter, die wiederum systematisch enger beieinander liegen und ergeben eine dichte Probe.

(Das allgemeine Ergebnis für dichte Proben ist, dass, da Infill-Asymptotik tatsächlich eine einzelne Realisierung eines räumlichen Prozesses ist, der einzige Parameter des (Superpopulations-) wahren Variogramms, der konsistent geschätzt werden kann, die Steigung bei Null ist, die Vorhersagen jedoch zunehmend gut sind. )

— AlaskaRon
quelle

Wissen Sie, wie Sie diese Aussage beweisen können? "Für alle Teilregionen des Gebiets ϵ nähert sich für jedes ϵ> 0 die Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe in der Teilregion auftritt, 1 als n → ∞. Eine solche Probe ist in der Domäne dicht."

ϵ

$\epsilon$

Kennen Sie Papiere, die besagen, dass lateinische Hyperwürfel asymptotisch dicht sind?

Beginnen wir mit einer Definition der lateinischen Hypercube-Stichprobe, um die Dinge klar zu machen und eine Notation zu erstellen. Dann können wir Infill-Asymptotika definieren.

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ von (Ort, Beobachtung) Werten.

Asymptotika füllen

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

— whuber
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