(Referenzen) Wie kann man experimentelle Entwurfsmodelle ableiten, anstatt sie nur auswendig zu lernen?

In der von mir belegten Klasse "Statistikmethoden" auf MS-Ebene habe ich verschiedene lineare Modelle für den experimentellen Entwurf kennengelernt. Nehmen wir zum Beispiel Für das zufällige vollständige Blockdesign (RCBD) Modell ( i , die den Block, j die Behandlungen darstellen), β die Blockeffekte darstellen, τ die (festen) Behandlungseffekte, ε i j folgende gewisse Verteilung N ( 0 , σ 2 ε ) .

$$Y_{ij} = \mu + \beta_i + \tau_j + \varepsilon_{ij}\,,$$ $i$$j$$\beta$$\tau$$\varepsilon_{ij}$$\mathcal{N}(0, \sigma^2_{\varepsilon})$

So intuitiv dieses Modell auch erscheinen mag, ich möchte eine Ebene tiefer gehen und verstehen, wie dieses Modell abgeleitet wird, anstatt nur die Gleichung auswendig zu lernen.

Frage: Kann mich jemand auf eine Quelle verweisen, die diese Gleichung für die RCBD und andere experimentelle Entwurfsmodelle ableiten würde?

Aufgrund der Antwort bearbeitet : Der Grund, warum ich dies frage, ist, dass er in Christansens Flugzeugantworten auf komplexe Fragen (Anhang G) die einfache Zufallsstichprobengleichung ableitet , die vollständig randomisierte Entwurfsgleichung y i j = μ i + e i j und die randomisierte vollständige Blockentwurfsgleichung y i j = α i + β j + e i $y_i = \mu + e_i$$y_{ij} = \mu_i + e_{ij}$$y_{ij} = \alpha_i + \beta_j + e_{ij}$als "gute Annäherungen an die geeigneteren Modelle basierend auf der Randomisierungstheorie." Früher, sagt er

[S] tatistics hat die Randomisierungstheorie traditionell als einen Bereich nichtparametrischer Statistik bezeichnet. Die Randomisierungstheorie ist auch in der Theorie des experimentellen Designs von besonderem Interesse, da die Randomisierung verwendet wurde, um die Analyse entworfener Experimente zu rechtfertigen.

Ich denke also, was ich wirklich verlange, ist ein Buch über Randomisierungstheorie, das die Ableitungen dieser und ähnlicher Gleichungen im Zusammenhang mit dem experimentellen Design behandelt.

$y_i$$s_1, \dots, s_N$$i = 1, \dots, n$$j = 1, \dots, N$

$$\delta^{i}_j = \begin{cases} 1, & y_i = s_j \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j = 1) = \dfrac{1}{N}$$ $$\mathbb{E}[\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}}] = \mathbb{P}(\delta^{i}_j\delta^{i^{\prime}}_{j^{\prime}} = 1) = \begin{cases} 1/N & (i, j) = (i^{\prime}, j^{\prime}) \\ 1/[N(N-1)] & i \neq i^{\prime}, j \neq j^{\prime} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $\mu = \sum_{j=1}^{N}s_j / N$$\sigma^2 = \sum_{j=1}^{N}(s_j - \mu)^2/N$ $$y_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_js_j = \mu+\sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$$ $e_i = \sum_{j=1}^{N}\delta^{i}_{j}(s_j - \mu)$ $$y_i = \mu + e_i\text{.}$$

Sie fragen nach einer Ableitung, aber ich würde argumentieren, dass diese Formel nicht ableitbar ist. Es steht für sich als mathematische Kodierung der Außenwelt. Der Mathematik ist es egal, was ein "Block" ist, aber Sie tun es. Und wenn Sie glauben, dass es als additive Variationsquelle modelliert werden kann, erhalten Sie wahrscheinlich das oben vorgeschlagene lineare Modell. Aber Blöcke könnten zum Beispiel mit Behandlungen interagieren, und dann wäre das oben vorgeschlagene Modell falsch. Sie können nicht ableiten, was das "richtige" Modell für die Welt ist.

Sie haben nach Referenzen gefragt, und vielleicht wären einige von RA Fischers Schriften zum experimentellen Design wie The Design of Experiments (1960) ein guter Ort, um nachzuschauen . Er spricht nicht einmal das lineare Modell an, sondern konzentriert sich stattdessen auf die Aufteilung der Varianz über eine Varianzanalyse. Ich bin gespannt, ob Fisher zu der Zeit, als er die Varianz auf diese Weise aufteilte, überhaupt an ein lineares Modell gedacht hat, und vielleicht wäre es der Ableitung am nächsten, die Äquivalenz der klassischen Varianzanalyse und der linearen zu zeigen Modell, wenn Sie das erstere für selbstverständlich halten.