Erwarteter Wert von

Ich bin neugierig auf die Erklärung am Ende der ersten Seite in diesem Text in Bezug auf die $R^2_\mathrm{adjusted}$ Einstellung

R_{a d j u s t e d}^{2} = 1 - (1 - R^{2}) (\frac{n - 1}{n - m - 1}) .

$R^2_\mathrm{adjusted} =1-(1-R^2)\left({\frac{n-1}{n-m-1}}\right).$

Der Text besagt:

Die Logik der Anpassung lautet wie folgt: Bei der gewöhnlichen multiplen Regression erklärt ein Zufallsvorhersagefaktor im Durchschnitt ein Verhältnis $1/(n – 1)$ der Variation der Antwort, so dass Zufallsvorhersageelemente im Durchschnitt der Variation der Antwort; Mit anderen Worten, der erwartete Wert von ist . Die Anwendung der Formel [ ] auf diesen Wert, bei dem alle Prädiktoren zufällig sind, ergibt " $m$ $m/(n – 1)$ $R^2$ $\mathbb{E}(R^2) = m/(n – 1)$ $R^2_\mathrm{adjusted}$ $R^2_\mathrm{adjusted} = 0$

Dies scheint eine sehr einfache und interpretierbare Motivation für . Ich konnte jedoch nicht herausfinden, dass für einen einzelnen zufälligen (dh nicht korrelierten) Prädiktor ist. $R^2_\mathrm{adjusted}$ $\mathbb{E}(R^2)=1/(n – 1)$

Könnte mich hier jemand in die richtige Richtung weisen?

— gregory_britten
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Falls der Link in Zukunft nicht mehr funktioniert, können Sie eine vollständige Referenz angeben? Vielen Dank.

— Richard Hardy

Dies ist eine genaue mathematische Statistik. Siehe diesen Beitrag für die Ableitung der Verteilung von unter der Hypothese, dass alle Regressoren (mit Ausnahme des konstanten Terms) nicht mit der abhängigen Variablen korreliert sind ("zufällige Prädiktoren"). $R^2$

$m$ $n$

R^{2} \sim B e t a (\frac{m}{2}, \frac{n - m - 1}{2})

$R^2 \sim Beta\left (\frac {m}{2}, \frac {n-m-1}{2}\right)$

und so

E (R^{2}) = \frac{m / 2}{(m / 2) + [(n - m - 1) / 2]} = \frac{m}{n - 1}

$E(R^2) = \frac {m/2}{(m/2)+[(n-m-1)/2]} = \frac{m}{n-1}$

$R^2$ $R^2$ "im Durchschnitt" Null.

— Alecos Papadopoulos
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Genau die Informationen, die ich brauchte! Vielen Dank! Und es lebe Stack Exchange!

— gregory_britten

Mich würde der Fall interessieren, in dem nicht alle Regressoren mit der abhängigen Variablen unkorreliert sind. Haben Sie einen Hinweis dazu?

— Olivier

@Olivier Nein, ich fürchte nicht. Schauen Sie unter "F-Test für Regressionssignifikanz, Verteilung unter der Alternative" oder so ähnlich nach.

— Alecos Papadopoulos